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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Orthogonale Matrix
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Orthogonale Matrix: Kern und Rang bestimmen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:31 Sa 22.09.2007
Autor: elefanti

Hallo,

kann man zu einer Matrix M die Matrix [mm] M^{\perp} [/mm] bestimmen?
Falls ja, wie macht man das denn?
Oder kann man anders von M auf den Kern und den Rang von [mm] M^{\perp} [/mm] schließen?


Viele Grüße
Elefanti

        
Bezug
Orthogonale Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 Sa 22.09.2007
Autor: angela.h.b.


> kann man zu einer Matrix M die Matrix [mm]M^{\perp}[/mm] bestimmen?

Hallo,

wie ist denn, wenn man eine Matrix A hat, [mm] A^{\perp} [/mm] definiert?
Ich habe das noch nie gehört.

Ich kenne nur, wenn M Teilmenge eines Vekorraumes ist, das orthogonale Komplement [mm] M^{perp} [/mm] von M.

Suchst Du vielleicht so etwas in der Richtung?

Was ist Dein M für eine Matrix?

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Orthogonale Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Sa 22.09.2007
Autor: elefanti

Hallo Angela,

darum hat meine Google-Suche wohl auch keine Ergebnisse gebracht.
Aber mir fällt dabei gerade auf, dass ich nicht [mm] Ker(M^{\perp}) [/mm] und [mm] R(M^{\perp}) [/mm] bestimmen will, sondern [mm] Ker(M)^{\perp} [/mm] und [mm] R(M)^{\perp}. [/mm]
Bei [mm] R(M)^{\perp} [/mm] bin ich davon ausgegangen, dass nach dem Rang gefragt ist, aber da bin ich mir nicht sicher.

Ich habe ein Beispiel:
Von M = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2} [/mm]
ist
[mm] Ker(M)^{\perp} [/mm] ={ [mm] \vektor{x \\ -x \\ z} \in \IR^3| [/mm] x,z [mm] \in \IR [/mm] }

Wie man auf [mm] Ker(M)^{\perp} [/mm] weiß ich leider nicht.



Viele Grüße
Elefanti

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Bezug
Orthogonale Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Sa 22.09.2007
Autor: angela.h.b.


> Ich habe ein Beispiel:
>  Von M = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2}[/mm]
> ist
>  [mm]Ker(M)^{\perp}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

={ [mm]\vektor{x \\ -x \\ z} \in \IR^3|[/mm] x,z [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> Wie man auf [mm]Ker(M)^{\perp}[/mm] weiß ich leider nicht.

Ich sag's Dir.

Zunächst bestimmst Du den Kern der Basis. Das kannst Du sicher.

Es ist hier [mm] KernM=<\vektor{1 \\ -1\\0}>. [/mm]

[mm] (KernM)^{\perp} [/mm] ist ein Vektorraum mit besonderen Eigenschaften.

Zum einen ist [mm] \IR^3=<\vektor{1 \\ -1\\0}> \oplus (KernM)^{\perp}, [/mm] und
zum anderen steht jeder Vektor aus [mm] (KernM)^{\perp} [/mm] senkrecht auf denen aus [mm] <\vektor{1 \\ -1\\0}>=KernM. [/mm]

Somit steht der Plan: Du benötigst Vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] die zu [mm] \vektor{1 \\ -1\\0} [/mm] orthogonal sind und [mm] \vektor{1 \\ -1\\0} [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen. Diese spannen dann den gesuchten Raum [mm] (KernM)^{\perp} [/mm] auf.

Für das Bild geht das dann so ähnlich.

Gruß v. Angela




Bezug
                                
Bezug
Orthogonale Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Sa 22.09.2007
Autor: elefanti

Vielen, vielen Dank!

Doch eine Frage habe ich noch:
Warum ist der [mm] Kern(M)^{\perp} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ -x \\ z} [/mm] und nicht [mm] \vektor{x \\ -x \\0}? [/mm]

Ich habe als die zwei weiteren orthogonalen zur Basis ergänzenden Vektoren [mm] v_1 [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] v_2 [/mm] =  [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] genommen.
Es gilt:
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] * [mm] v_1=0 [/mm]
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] * [mm] v_2 [/mm] =0
[mm] v_1*v_2 [/mm] = 0

1 -1 0
1 1 0
0 0 1

=>

x-y=0  <=> x=y
x+y= 0 <=> x =-y   => da x=y auch gilt x=y=0
z=0
Also Basis des [mm] \IR^3. [/mm]

Aus den Vektoren [mm] v_1, v_2 [/mm] folgt nun:
1 1 0
0 0 1

x + y = 0  <=> y=-x
z=0

Nun dachte ich mir, dass z beliebig ist, liegt daran dass der von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgespannte Raum zweidimensional ist, aber der Kern dreidimensional ist.




Viele Grüße
Elefanti

Bezug
                                        
Bezug
Orthogonale Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Sa 22.09.2007
Autor: angela.h.b.


> Doch eine Frage habe ich noch:
>  Warum ist der [mm]Kern(M)^{\perp}[/mm] = [mm]\vektor{x \\ -x \\ z}[/mm]

Hallo,

darüber müßte man in der Tat nochmal nachdenken. Das tun wir etwas später.

> und
> nicht [mm]\vektor{x \\ -x \\0}?[/mm]

DAS kann nicht sein. Wir hatten ja festgestellt, daß der Kern eindimensional ist. Also MUSS das Orthogonale Komplement die Dimension 2 haben, und die hat der hier von Dir vorgeschlagene Raum [mm] \{\vektor{x \\ -x \\0}| x\in \IR\}=<\vektor{1 \\ -1 \\0}> [/mm] nicht.

Wenn Du Dir das unter dem Basisergänzungsaspekt anschaust: ergänzt [mm] \vektor{1 \\ -1 \\0} [/mm] den Vektor, der den Kern aufspannt, zu einer Basis des [mm] \IR^3? [/mm] Nein.

Und es kommt noch schlimmer: [mm] \vektor{1 \\ -1 \\0} [/mm] ergänzt den Vektor, der den Kern aufspannt, um überhaupt gar nix!!! Denn er liegt ja selbst im kern. Die Dir vorliegende Lösung ist verkehrt.

>  
> Ich habe als die zwei weiteren orthogonalen zur Basis
> ergänzenden Vektoren [mm]v_1[/mm] =  [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]v_2[/mm] =  
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] genommen.

Die sind prima!!! Die funktionieren nämlich.

Damit ist [mm] (KernM)^{\perp}=<\vektor{1 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}>, [/mm] oder, anders geschrieben: [mm] \{\vektor{x \\ x \\ z}| x,z\in \IR\}. [/mm]

Ich hoffe, daß damit alles klar ist, und außerdem hoffe ich, daß sich meine 1,2,3 Gläschen Wein nicht negativ ausgewirkt haben.

Gruß v. Angela




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Bezug
Orthogonale Matrix: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:10 Sa 22.09.2007
Autor: elefanti

Super, vielen vielen Dank!


Viele Grüße
Elefanti



Bezug
                                                
Bezug
Orthogonale Matrix: Bild
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 So 23.09.2007
Autor: elefanti

Hallo ihr,

gilt dim(M) = dim(Im(M)) + [mm] dim(Im(M)^\perp)? [/mm]

Beispiel:
Von M = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2} [/mm] ist das Im = [mm] \IR^2, [/mm] da

1 1 1
1 1 0
0 0 2

=> I-II
0 0 1
1 1 0
0 0 2

=> III-2I
0 0 1
1 1 0
0 0 0

=>
1 1 0
0 0 1

Davon sind zwei linear unabhängige Vektoren
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}, [/mm] also Im(M) = [mm] \IR^2. [/mm]


Aus dim(M) = dim(Im(M)) + [mm] dim(Im(M)^\perp) [/mm] würde ja nun folgen:
3 = 2 + [mm] dim(Im(M)^\perp) [/mm]
3 = 2 + 1

Wenn man die Vektoren [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm] und [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] orthogonal zur Basis [mm] \IR^3 [/mm] ergänzt erhält man ja auch den eindimensionalen Vektor [mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1}. [/mm]


Viele Grüße
Elefanti

Bezug
                                                        
Bezug
Orthogonale Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 So 23.09.2007
Autor: angela.h.b.


> Hallo ihr,
>  
> gilt dim(M) = dim(Im(M)) + [mm]dim(Im(M)^\perp)?[/mm]

Hallo,

was meinst Du denn mit dim(M)?

Ich kenne Dimensionen von Vektorräumen, aber nicht von Matrizen.

>  
> Beispiel:
>  Von M = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2}[/mm] ist das
> Im = [mm]\IR^2,[/mm] da

Hilfe!!!

Das ist doch Unfug!!!

Man sieht doch sofort, daß daß M in den [mm] \IR^3 [/mm] abbildet. Also ist das Bild sicher eine Teilmenge des [mm] \IR^3. [/mm]

Was sein kann, ist, daß das Bild von M isomorph ist zum [mm] \IR^2. [/mm]


>  
> 1 1 1
>  1 1 0
>  0 0 2
>  
> => I-II
>  0 0 1
>  1 1 0
>  0 0 2
>  
> => III-2I
>  0 0 1
>  1 1 0
>  0 0 0
>  
> =>
> 1 1 0
>  0 0 1
>  
> Davon sind zwei linear unabhängige Vektoren.

Ja.
Das sagt uns, daß von den drei ursprünglichen Spaltenvektoren zwei linear unabhängig sind.

Man sieht sofort, daß das für [mm] \vektor{1\\ 1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1\\ 0\\2} [/mm] zutrifft.

Also ist Bild [mm] M=<\vektor{1\\ 1\\0},\vektor{1\\ 0\\2}>. [/mm]

(Du siehst, daß auch [mm] \vektor{1\\ 0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\ 1\\0} [/mm] keinesfalls diesen Raum aufspannen.)

Nun kannst Du (Bild [mm] M)^{\perp} [/mm] suchen.

Du siehst sofort, daß Du hierfür nur einen Vektor benötigst, und der muß senksrecht stehen auf den beiden Basisvektoren von BildM.

Gruß v. Angela




Bezug
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