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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Do 27.11.2008 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren u = (2;-1; 3) und v = (-4; 2;-6). Bestimmen Sie
die Menge U aller Vektoren x = (x1; x2; x3) des R3, für die x [mm] \perp [/mm] u und x [mm] \perp [/mm] v
gilt. Begründen Sie (kurz), weshalb U ein Unterraum des R3 ist. Geben Sie die
Dimension sowie eine Basis von U an. |
Hallo
1.Wie bestimme ich die Menge U?
2. Reicht als Begründung für [mm] \IR³ [/mm] wenn ich sage das die Vektoren nur 3 Koordinaten haben?
Danke für jede Hilfe
Nina
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> Gegeben seien die Vektoren u = (2;-1; 3) und v = (-4;
> 2;-6). Bestimmen Sie
> die Menge U aller Vektoren x = (x1; x2; x3) des R3, für
> die x [mm]\perp[/mm] u und x [mm]\perp[/mm] v
> gilt. Begründen Sie (kurz), weshalb U ein Unterraum des R3
> ist. Geben Sie die
> Dimension sowie eine Basis von U an.
> Hallo
>
> 1.Wie bestimme ich die Menge U?
> 2. Reicht als Begründung für [mm]\IR³[/mm] wenn ich sage das die
> Vektoren nur 3 Koordinaten haben?
Hallo Nina,
Die Vektoren u und v spannen einen gewissen
Unterraum L des [mm] \IR^3 [/mm] auf. L könnte eindimensional
(eine Gerade durch O(0/0) ) oder zweidimensional
(Ebene durch O) sein. Zuerst solltest du dir klar
machen, welcher dieser Fälle vorliegt.
Um dann die Menge U zu finden, schreibst du
einfach einmal die Bedingungen, dass [mm] x\perp [/mm] u und
[mm] x\perp [/mm] v sein soll, mittels Skalarprodukt auf.
Um zu zeigen, dass U wirklich ein Unterraum von
[mm] \IR^3 [/mm] ist, konsultierst du am besten zunächst
die Definition des Begriffs "Unterraum", die du
sicher hast, wenn diese Frage gestellt wird.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Do 27.11.2008 | | Autor: | Parkan |
Die Bedingungen für Orthogonalität wäre doch.
u*x=0 und v*x=0 oder ?
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> Die Bedingungen für Orthogonalität wäre doch.
>
> u*x=0 und v*x=0 oder ?
Ja.
Und genau diese Gleichungen solltest du nun
mit den einzelnen Komponenten der Vektoren
darstellen und dir klar machen, welches geometrische
Gebilde dem entstandenen Gleichungssystem entspricht.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Do 27.11.2008 | | Autor: | Parkan |
Sieht das LGS so aus?
[mm] \pmat{ u1 & u2 & u3 & 0 \\ v1 & v2 & v3 & 0 } [/mm]
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> Sieht das LGS so aus?
>
> [mm]\pmat{ u1 & u2 & u3 & 0 \\ v1 & v2 & v3 & 0 }[/mm]
Hallo!
Ja, und nun aber die Werte für u und v einsetzen! Da die beiden Vektoren linear abhängig sind, reicht es auch eine der beiden Gleichunge zu betrachten ((-2)*erste Gleichung = zweite Gleichung).
Was erhältst du?
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Do 27.11.2008 | | Autor: | Parkan |
Aber die Lösung dieses LGS wäre ja die erste Gleichung selbst oder nicht?.
2x1-1x2+3x3=0
Zum Geometrischen Gebilde, u und v bilden eine Gerade.
Da diese in der addition abgeschlossen ist gehört es zu [mm] \IR³ [/mm] kann ich das so begründen?
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> Aber die Lösung dieses LGS wäre ja die erste Gleichung
> selbst oder nicht?.
>
> 2x1-1x2+3x3=0
>
> Zum Geometrischen Gebilde, u und v bilden eine Gerade.
Hallo!
Die von dir angegebene Gleichung ist gewissermaßen das LGS, nicht die Lösung!
u und v bilden eine Gerade, genau, weil sie linear abhängig sind. Man erwartet also, dass die Orthogonale Menge eine Ebene ist. (d.h. zweidimensional). Und das bekommst du durch dein obiges LGS gerade raus! Was ist denn
2x1-1x2+3x3=0
?? Die Koordinatengleichung einer Ebene! Wenn du dieses LGS noch explizit lösen willst, um eine Parameterdarstellung der Ebene zu erhalten und die restlichen Fragen lösen zu können, musst du dir nun die Frage stellen: Wieviele Parameter muss ich frei wählen?
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Do 27.11.2008 | | Autor: | Parkan |
Hmmm :D
Ich denk mal das ich x2 und x3 freiwähle ansonsten kann ich das LGS ja nich Lösen.
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Hallo!
> Hmmm :D
>
> Ich denk mal das ich x2 und x3 freiwähle ansonsten kann ich
> das LGS ja nich Lösen.
So kann man es ausdrücken 
Also
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \lambda\in\IR
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \mu\in\IR
[/mm]
Dann folgt aus dem "Gleichungssystem" dass
[mm] x_{1} [/mm] = ...
Und somit haben die Vektoren im orthogonalen Raum alle die Form
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{...\\\mu\\\lambda}
[/mm]
weil sie die notwendigen Gleichungen erfüllen. Diesen Vektor kannst du nun noch in die Form
[mm] \lambda*v_{1}+\mu*v_{2}
[/mm]
auseinanderziehen, dann ist [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] eine Basis von U. Welche Dimension hat also U? Info: Die Dimension stimmt natürlich auch mit der Anzahl der oben frei gewählten Parameter überein
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 27.11.2008 | | Autor: | Parkan |
Ist x1 dann [mm] \bruch{\lambda - \mu}{2} [/mm] ?
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Hallo!
> Ist x1 dann [mm]\bruch{\lambda - \mu}{2}[/mm] ?
Nein. Das "Gleichungssystem" lautet doch
[mm] 2x_{1}-x_{2}+3x_{3} [/mm] = 0
Wenn nun [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \mu, x_{3} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] steht da
[mm] 2x_{1}-\mu +3\lambda [/mm] = 0
Das jetzt nach [mm] x_{1} [/mm] umstellen!
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Do 27.11.2008 | | Autor: | Parkan |
Also x1= [mm] \bruch{\mu -3\lambda}{2}
[/mm]
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Hallo,
> Also x1= [mm]\bruch{\mu -3\lambda}{2}[/mm]
Ja klar Und nun wie zwei Posts weiter oben beschrieben vorgehen.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 27.11.2008 | | Autor: | Parkan |
Nochmal zusammengefasst:
Diemension ist 2.
U ist eine Unterraum von R³ weil Summen und skalare Vielfache von Vektoren aus U wieder auf der Gerade U liegen.
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2 Posts weiter Oben hast du ein Satz über die Basis geschrieben, den habe ich leider nicht verstanden kannst du ihn anderes Formulieren?
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> Nochmal zusammengefasst:
>
> Diemension ist 2.
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> U ist eine Unterraum von R³ weil Summen und skalare
> Vielfache von Vektoren aus U wieder auf der Gerade U
> liegen.
Hallo!
Widersprich dir nicht selbst! Dimension ist 2, also ist U eine Ebene.
> ---------------
>
> 2 Posts weiter Oben hast du ein Satz über die Basis
> geschrieben, den habe ich leider nicht verstanden kannst du
> ihn anderes Formulieren?
Indem du nun die allgemeine Lösung
[mm] \vektor{\bruch{\mu - 3\lambda}{2} \\ \mu \\ \lambda}
[/mm]
des LGS berechnet hast, hast du natürlich auch gleichzeitig den "Raum" U ausgerechnet. Und zwar ist das gerade
[mm] \left\{\vektor{\bruch{\mu - 3\lambda}{2} \\ \mu \\ \lambda}\Bigg| \lambda, \mu \in \IK \right\}
[/mm]
weil ja alle Vektoren in dieser Menge Lösung des LGS, also der anfänglichen Forderung sind. Du kannst nun noch diesen Vektor auseinanderziehen in
[mm] \left\{\lambda*\vektor{-\bruch{3}{2} \\ 0 \\ 1} + \mu*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}\Bigg| \lambda, \mu \in \IK \right\}
[/mm]
Und nun kann man wunderbar sehen, dass U also gerade der von den Vektoren
[mm] \vektor{-\bruch{3}{2} \\ 0 \\ 1}, \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}
[/mm]
aufgespannte Raum ist. Da die beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, sind sie also eine Basis von U (linear unabhängig + Erzeugendensystem).
Und die Dimension eines Vektorraums ist gerade so definiert: Dimension = Anzahl der Basisvektoren des Vektorraums. Also Dimension hier = 2.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Do 27.11.2008 | | Autor: | Parkan |
VIELEN Dank jetzt habe ich es :D Ohne dich wäre ich noch mehrere Stunden dran. DANKE
Nina
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