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Orthogonale Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Mi 25.11.2020
Autor: sina10

Hallöchen an alle. Ich beschäftige mich zurzeit mit orthogonalen Polynome und durchforste einige Skripte und Wikipedia-Seiten dazu.


Auf Wikipedia finde ich folgende Definition dazu:


Definition: Wikipedia
_________________

Sei [mm] $\mu$ [/mm] ein Borel-Maß auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] und betrachten man den Hilbertraum [mm] $L^{2} (\mathbb{R}, [/mm] d [mm] \mu)$ [/mm] der bezüglich [mm] $\mu$ [/mm] quadratintegrierbaren Funtionen mit dem Skalarprodukt $(f, g ) = [mm] \int\limits_{\mathbb{R}} \overline{f(x)} [/mm] g(x) d [mm] \mu(x)$. [/mm]

Weiter sei [mm] $\int_{\mathbb{R}} \vert [/mm] x [mm] \vert^{n} [/mm] d [mm] \mu(x) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] für alle $n [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß einen kompakten Träger besitzt.
Insbesondere ist das Maß endlich und man kann o.B.d.A. [mm] $\mu(\mathbb{R}) [/mm] = 1$ fordern.

Im einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative Gewichtsfunktion [mm] $\omgea(x)$ [/mm] gegeben: $d [mm] \mu(x) [/mm] = [mm] \omega(x) [/mm] dx$.

Eine Folge von Polynomen [mm] $P_{n}, [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}_{0},$ [/mm] heißt eine Folge orthogonaler Polynome, falls [mm] $P_{n}(x)$ [/mm] Grad $n$ hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:

[mm] $(P_{m}, P_{n}) [/mm] = 0,$ $m [mm] \neq [/mm] n$.



Ich habe dazu ein paar Fragen:

1.) Was meint man mit $d [mm] \mu$? [/mm] Wofür steht das Symbol?

2) Was bedeutet dann genau [mm] $L^{2} (\mathbb{R}, [/mm] d [mm] \mu)$ [/mm] ?

Ich kann mir schon denken, dass man damit einen Vektorraum meint, dessen Elemente reelle Funktionen $f: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] sind, die mindestens 2x integrierbar sind. Passt das so?
Aber welche Rolle soll $d [mm] \mu$ [/mm] da spielen?

3) Wie genau soll ich $(f, g ) = [mm] \int\limits_{\mathbb{R}} \overline{f(x)} [/mm] g(x) d [mm] \mu(x)$ [/mm] verstehen? Was ist denn $d [mm] \mu(x)$? [/mm]

4) Benutzt man, wenn man von orthogonalen Polynomen spricht, immer das obige Skalarprodukt? Oder orthogonalisert man manchmal Polynome bezüglich eines ganz anderen Skalarproduktes?

Das war's :-) Ich würde mich auf eine Antwort sehr freuen!

        
Bezug
Orthogonale Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Do 26.11.2020
Autor: fred97

Hallo Sina,

ich denke es ist nicht möglich,  all Deine Fragen zu beantworten, denn Dir fehlen viele , viele Grundlagen.

Mache Dich also zunächst mit Maß - und Integrationstheorie vertraut.

Danach sollte Dir klar sein, was $ d [mm] \mu [/mm] $,  $ [mm] L^{2} (\mathbb{R}, [/mm] d [mm] \mu) [/mm] $ und $ d [mm] \mu(x) [/mm] $, etc... bedeuten.

Viel Vergnügen

FRED

Bezug
        
Bezug
Orthogonale Polynome: Literaturhinweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Do 26.11.2020
Autor: statler

Hallo Sina,

Freds Antwort lag mir so ähnlich auch auf der Zunge, aber da das nicht wirklich mein Fachgebiet ist, habe ich sie für mich behalten :) Was ich jetzt aber doch ergänzen möchte, ist 1. der Hinweis auf einschlägige Bücher z. B. von Halmos oder Bauer und 2. daß du dann hier natürlich jede Menge Fragen zu den dortigen Sätzen und Aufgaben stellen kannst (und dann auch qualifizierte Antworten kriegst). Wiki ist nicht ansatzweise ausreichend!

Viel Vergnügen auch von mir
Dieter

Bezug
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