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| Aufgabe | Sei V ein Euklidischer Raum und U ein endlichdimensionaler Unterraun. Dann gibt es zu jedem v [mm] \in [/mm] V eine eindeutige Zerlegung
[mm] v=proj_{u}(v)+perp_{u}(v) [/mm] mit [mm] proj_{u}(v) \in [/mm] U, [mm] perp_{u} \in U\perp
[/mm]
[mm] proj_{u} [/mm] heißt ortghogonale Projektion von v auf U.
Außerdem wurde [mm] proj_{u}:=\summe_{i=1}^{n} u_{i} [/mm] definiert |
Ich habe ein Grundsätzliches Verständnisproblem mit diesem Begriff der orthogonalen Projektion.
Ich bin derzeit soweit, dass ich weiß, dass es in irgendeiner Weise um Vektoren geht, welche normal aufeinander stehen geht.
Ich habe gehört, dass die orthogonale Projektion nur die Werte 0 und 1 annehmen können. Jedoch aus der obigen Summenformel [mm] proj_{u}:=\summe_{i=1}^{n} u_{i} [/mm] entstehen jedoch Werte, welche nicht nur 0 und 1 sind.
Ich bin wirklich verwirrt un wäre froh über ein paar erklärende Sätze, da ich mit den Definitionen und Erklärungen aus dem Internet nicht wirklich weiterkomme.
Ich wäre um jede Hilfe dankbar!
Liebe Grüße!
Christina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Fr 05.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dass die Projrktionen nur werte 0 und 1 annehmen können ist einfach falsch.
du projizierst ja alle Vektoren des V nach U und hast damit ganz U, alle vektoren, die senkrecht auf U stehen werden auf 0 abgebildet.
stell dir erstmal den V als [mm] \IR^3 [/mm] vor, U eine Ebene durch (0,0,0)
Dann projizierst du senkkrecht alle Vektoren auf die Ebene. Vektoren in der ebene bleiben erhalten, vektoren senkrecht zur Ebene werden auf punkte, also 0 Vektoren abgebildet.
wenn du dir den [mm] R^3 [/mm] mit Pfeilen gefüllt denkst, sind es die Schatten der Pfeile in der Ebene bei senkrechtem sonneneinfall.
bei mehr als [mm] R^3 [/mm] wird die Vorstellung schwieriger, sollte aber klar sein. Wenn du als U eine gerade durch 0 wählst, werden alle vektoren auf die abgebildet.
da die Projetion alle Vektoren in U erzeugt, und U+Usenkrecht ganz V ist die beh. anschaulich klar. wenn du zu der ebene einen senkrechten Vektor dazunimmst kannst du ganz R°3 erzeugen.
Jetzt musst du nur noch formalisieren.
gruss leduart
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Vielen Dank für deine Antwort!
Also kann ich mir das jetzt so vorstellen: (Ausgehend von der Gleichung v=proj{u} + perp{u})
Wenn ein Vektor senkrecht auf der Ebene steht, ist der [mm] proj_{u} [/mm] Anteil Null und der [mm] perp_{u} [/mm] Anteil der gesamte Vektor, da es ja nur aus einem orthogonalen Vektor besteht.
Und bei paralellen Vektoren wäre es dann genau umgekehrt? Also der [mm] perp_{u} [/mm] Teil ist 0 und der [mm] proj_{u} [/mm] Teil der gesamte Vektor?
Un bei allen anderen Vektoren werden dann so Dreiecke gebildet, bei denen es so lange in der Ebene bleibt, also der [mm] proj_{u}-Teil [/mm] und dann, am Ende des Vektor fährt man dann rauf, und so bekommt man den [mm] perp_{u} [/mm] Teil.
Habe ich das ungefähr richtig verstanden, oder ist das Blödsinn?
Lg Christina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Fr 05.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, für den [mm] R^3 [/mm] und die Ebene ist deine Vorstellung richtig-
Gruss leduart
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Ok super! Danke!! :)
Aber eine Frage hätte ich jetzt doch noch...
Was genau kann ich mir jetzt mit der Summe
[mm] \summe_{i=1}^{n} u_{i}
[/mm]
berechnen? Denn da kommt ja ein Vektor raus, oder?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Fr 05.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was gibt denn [mm] [/mm] an und dann das Produkt?
machs erstmal noch für eine Ebene oder Gerade in [mm] R^3 [/mm] zur besseren Vorstellung.
dabei nimm die [mm] U_i [/mm] als EinheitsbasisVektoren von U
Gruss leduart
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Hm. Da steh ich jetzt aufm Schlauch...
Wenn ich jetzt als Untervektorraum den R2 nehme.
Dann sind meine Einheitsvektoren ja [mm] \vektor{0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
Wenn ich jetzt einen beliebigen Vektor, z.B.: [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 3} [/mm] aus V Skalarmultiplizieren möchte, müsste ich ja
(3,3,3) * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] rechnen.
Das geht ja gar nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Fr 05.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
als UVR von [mm] R^3 [/mm] seheb due Vektoren de r xy-eben aber nicht so aus, sie liegen weiter im [mm] R^3 [/mm] also
$ [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 0}, \vektor{1 \\ 0\\ 0} [/mm] $
aber du solltest besser eine allgemeinere Ebene nehmen, z.B. mit [mm] 1(\sqrt{2}*\vekto{1\\ 1\\ 0} [/mm] und [mm] 1(\sqrt{2}*\vekto{1\\ 0\\ 1}
[/mm]
oder so-
du solltest wissen dass das Skalarprodukt mit einem einheitsvektor, die Komponente in Richtung dieses Vektors liefert. Da siehst du natürlich auch bei deiner Ebene.
(übrigens "den" [mm] R^2 [/mm] als UR von [mm] R^3 [/mm] gibt es nicht, sondern alle Ebenen durch 0 sind UVR von [mm] R^3
[/mm]
Gruss leduart
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