Orthogonale nxn-Matrizen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 08.05.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Betrachten Sie den normierten [mm] $\mathbb{K}$-Vektorraum $\mathbb{K}^{n\times n}$ [/mm] der [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] mit [mm] $a_{ij}\in \mathbb{K}$ [/mm] bzgl. der Norm
[mm] \[\lVert A\rVert=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2\right)^\frac{1}{2}.\]
[/mm]
a) Begründen Sie, dass die Abbildung
[mm] \[f\colon \mathbb{K}^{n\times n}\to \mathbb{K}^{n\times n}, \quad f(A)=A^tA\] [/mm]
stetig ist, wobei [mm] $A^t$ [/mm] die transponierte Matrix zu $A$ bezeichne.
b) Betrachten Sie die Teilmenge der orthogonalen [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen
[mm] \[\mathbb{O}(n)=\left\{A\in\mathbb{K}^{n\times n}:A^tA=I_n\right\}\subseteq \mathbb{K}^{n\times n}.\] [/mm]
Zeigen Sie: [mm] $\mathbb{O}(n)$ [/mm] ist abgeschlossen und beschränkt. Ist [mm] $\mathbb{O}(n)$ [/mm] kompakt? |
Hallo, ich habe eine Frage zu Teil b):
1. Ist [mm] $\mathbb{O}(n)$ [/mm] die Menge der orthogonalen Matrizen für ein n, oder für alle n? Muss ich mir also nur eine Einheitsmatrix [mm] $I_n$ [/mm] für ein beliebiges n angucken, oder geht es um alle Einheitsmatrizen? Falls es nur um ein n geht, dann besteht ja [mm] $\{I_n\}$ [/mm] nur aus einem Element und ist damit abgeschlossen, woraus dann sofort mit a) die Abgeschlossenheit von [mm] $\mathbb{O}(n)$ [/mm] folgt, aber sonst wäre ich da etwas überfragt und würde mich über Tipps freuen.
2. Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich Beschränktheit zeigen könnte? Unsere Definition:
Eine Teilmenge $M$ eines normierten [mm] $\mathbb{K}$-Vektorraums $(E,\lVert\cdot\rVert)$ [/mm] heißt beschränkt, falls: [mm] $\exists c>0\:\forall x\in M:\lVert x\rVert\leqslant [/mm] c$.
------Edit-------
Ist Folgendes richtig?
[mm] $\lVert I_n\rVert=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \lvert \delta_{ij}\rvert^2\right)^2=\left(\sum_{i=1}^n \lvert \delta_{ii}\rvert^2\right)^2=\sqrt{n}$ [/mm] und ist damit dann [mm] $\mathbb{O}(n)$ [/mm] beschränkt (für [mm] $n<\infty$)?
[/mm]
Eigentlich doch nicht, oder? Die Menge besteht ja aus [mm] $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ [/mm] und nicht aus $A^tA$. :C
------Edit-------
3. Sehe ich es richtig, dass die Kompaktheit einfach nach Heine-Borel aus der Abgeschlossenheit und Beschränktheit folgt?
Ich habe übrigens nur rudimentäre Kenntnisse in Linearer Algebra auf Hochschulniveau (habe nur in etwa den ersten Monat einer LA I-Vorlesung mitbekommen, und das ist ca. 1,5 Jahre her...)
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Hallo Lustique,
> Betrachten Sie den normierten [mm]\mathbb{K}[/mm]-Vektorraum
> [mm]\mathbb{K}^{n\times n}[/mm] der [mm]n\times n[/mm]-Matrizen [mm]A=(a_{ij})[/mm]
> mit [mm]a_{ij}\in \mathbb{K}[/mm] bzgl. der Norm
>
> [mm]\[\lVert A\rVert=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2\right)^\frac{1}{2}.\][/mm]
>
> a) Begründen Sie, dass die Abbildung
>
> [mm]\[f\colon \mathbb{K}^{n\times n}\to \mathbb{K}^{n\times n}, \quad f(A)=A^tA\][/mm]
>
> stetig ist, wobei [mm]A^t[/mm] die transponierte Matrix zu [mm]A[/mm]
> bezeichne.
>
> b) Betrachten Sie die Teilmenge der orthogonalen [mm]n\times n[/mm]-Matrizen
>
> [mm]\[\mathbb{O}(n)=\left\{A\in\mathbb{K}^{n\times n}:A^tA=I_n\right\}\subseteq \mathbb{K}^{n\times n}.\][/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]\mathbb{O}(n)[/mm] ist abgeschlossen und
> beschränkt. Ist [mm]\mathbb{O}(n)[/mm] kompakt?
>
>
>
> Hallo, ich habe eine Frage zu Teil b):
>
> 1. Ist [mm]\mathbb{O}(n)[/mm] die Menge der orthogonalen Matrizen
> für ein n, oder für alle n?
Ein spezielles n.
> Muss ich mir also nur eine Einheitsmatrix [mm]I_n[/mm] für ein beliebiges n angucken, oder
> geht es um alle Einheitsmatrizen? Falls es nur um ein n
> geht, dann besteht ja [mm]\{I_n\}[/mm] nur aus einem Element und ist
> damit abgeschlossen, woraus dann sofort mit a) die
> Abgeschlossenheit von [mm]\mathbb{O}(n)[/mm] folgt, aber sonst wäre
> ich da etwas überfragt und würde mich über Tipps freuen.
Ich weiß nicht so genau, was du hier machst.
Die Einheitsmatrix ist jedenfalls nicht die einzige orthogonale Matrix.
>
> 2. Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich Beschränktheit
> zeigen könnte? Unsere Definition:
>
> Eine Teilmenge [mm]M[/mm] eines normierten [mm]\mathbb{K}[/mm]-Vektorraums
> [mm](E,\lVert\cdot\rVert)[/mm] heißt beschränkt, falls: [mm]\exists c>0\:\forall x\in M:\lVert x\rVert\leqslant c[/mm].
>
>
> ------Edit-------
>
> Ist Folgendes richtig?
>
> [mm]\lVert I_n\rVert=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \lvert \delta_{ij}\rvert^2\right)^2=\left(\sum_{i=1}^n \lvert \delta_{ii}\rvert^2\right)^2=\sqrt{n}[/mm]
> und ist damit dann [mm]\mathbb{O}(n)[/mm] beschränkt (für
> [mm]n<\infty[/mm])?
Nein, es sind wie oben angedeutet wesentlich mehr Matrizen in O(n).
Gilt [mm] K=\IR, [/mm] so zeige, dass die Einträge einer orthogonalen Matrix betragsmäßig durch 1 beschränkt sind. Tipp: Orthogonale Matrizen U sind längenerhaltend, d.h. für [mm] x\in\IR^n [/mm] gilt [mm] \|Ux\|_2=\|x\|_2.
[/mm]
Damit folgt dann leicht die Beschränktheit von O(n).
Ist [mm] K=\IC, [/mm] so liegt diese Beschränktheit nicht vor...
>
> ------Edit-------
>
> 3. Sehe ich es richtig, dass die Kompaktheit einfach nach
> Heine-Borel aus der Abgeschlossenheit und Beschränktheit folgt?
Ja. Der Vektorraum der [mm] $n\times [/mm] n$ Matrizen ist endlich dimensional und kann mit [mm] $\IK^{n^2}$ [/mm] identifiziert werden. Daher gilt der Satz.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Hallo,
> Ein spezielles n.
> Ich weiß nicht so genau, was du hier machst.
> Die Einheitsmatrix ist jedenfalls nicht die einzige
> orthogonale Matrix.
Nein, das ist mir schon klar, aber es wurde ja in a) gezeigt, dass f stetig ist. Da ja [mm] $I_n$ [/mm] nur aus einem Element besteht, ist [mm] $\{I_n\}$ [/mm] ja dann abgeschlossen, also ist das entsprechende Urbild ebenfalls abgeschlossen, in diesem Fall [mm] $\mathbb{O}(n)$, [/mm] oder stimmt das nicht?
> Nein, es sind wie oben angedeutet wesentlich mehr Matrizen
> in O(n).
Ja, das sehe ich ein. Ich habe da wohl irgendwie die Elemente der Menge und die Bedingung, die für diese Elemente gelten muss, durcheinandergebracht. :O
> Gilt [mm]K=\IR,[/mm] so zeige, dass die Einträge einer orthogonalen
> Matrix betragsmäßig durch 1 beschränkt sind. Tipp:
> Orthogonale Matrizen U sind längenerhaltend, d.h. für
> [mm]x\in\IR^n[/mm] gilt [mm]\|Ux\|_2=\|x\|_2.[/mm]
> Damit folgt dann leicht die Beschränktheit von O(n).
>
> Ist [mm]K=\IC,[/mm] so liegt diese Beschränktheit nicht vor...
Tut mir leid, aber damit komme ich nicht weiter. :/ Gibt es noch einen anderen Begriff für "längenerhaltend", bzw. lässt sich das mit irgendwelchen anderen Eigenschaften identifizieren oder so? Ich habe leider keine Ahnung von linearer Algebra und "längenerhaltend" auch noch nie gehört, d.h. benutzen dürfte ichs wahrscheinlich auch nicht. :/ Ich weiß auch nicht, wie ich daraus dann die Beschränktheit folgern soll, ehrlich gesagt.
Ich kann ehrlich gesagt gerade nicht mal formulieren, wie die einzelnen Komponenten von [mm] $A\in\mathbb{O}(n)$ [/mm] beschaffen sein müssen, damit unter f $A$ auf [mm] $I_n$ [/mm] abgebildet wird, weil ich sogar die Matrizenmultiplikation in einem Buch nachgucken musste. :(
Hätte ich (mehr) Ahnung von Linearer Algebra, hätte mir der Tipp bestimmt weitergeholfen, also trotzdem danke! 
> Ja. Der Vektorraum der [mm]n\times n[/mm] Matrizen ist endlich
> dimensional und kann mit [mm]\IK^{n^2}[/mm] identifiziert werden.
> Daher gilt der Satz.
>
>
> LG
>
Alles klar, danke!
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> Hallo,
>
> > Ein spezielles n.
>
> > Ich weiß nicht so genau, was du hier machst.
> > Die Einheitsmatrix ist jedenfalls nicht die einzige
> > orthogonale Matrix.
>
> Nein, das ist mir schon klar, aber es wurde ja in a)
> gezeigt, dass f stetig ist. Da ja [mm]I_n[/mm] nur aus einem Element
> besteht,
[mm] I_n [/mm] ist keine Menge, sondern eine Matrix.
> ist [mm]\{I_n\}[/mm] ja dann abgeschlossen, also ist das
> entsprechende Urbild ebenfalls abgeschlossen, in diesem
> Fall [mm]\mathbb{O}(n)[/mm], oder stimmt das nicht?
Wenn Du in a) gezeigt hast, dass f stetig ist, dann erhältst Du in b) so die Abgeschlossenheit von O(n).
Um die Stetigkeitvon f zu zeigen, reicht es wiederum [mm] \IK^{n\times n} [/mm] mit [mm] \IK^{n^2} [/mm] zu identifizieren.
Dann sind die einzelnen Komponenten von f jeweils Polynomfunktionen und damit stetig.
>
> > Nein, es sind wie oben angedeutet wesentlich mehr Matrizen
> > in O(n).
>
> Ja, das sehe ich ein. Ich habe da wohl irgendwie die
> Elemente der Menge und die Bedingung, die für diese
> Elemente gelten muss, durcheinandergebracht. :O
>
> > Gilt [mm]K=\IR,[/mm] so zeige, dass die Einträge einer orthogonalen
> > Matrix betragsmäßig durch 1 beschränkt sind. Tipp:
> > Orthogonale Matrizen U sind längenerhaltend, d.h. für
> > [mm]x\in\IR^n[/mm] gilt [mm]\|Ux\|_2=\|x\|_2.[/mm]
> > Damit folgt dann leicht die Beschränktheit von O(n).
> >
> > Ist [mm]K=\IC,[/mm] so liegt diese Beschränktheit nicht vor...
>
> Tut mir leid, aber damit komme ich nicht weiter. :/ Gibt es
> noch einen anderen Begriff für "längenerhaltend", bzw.
> lässt sich das mit irgendwelchen anderen Eigenschaften
> identifizieren oder so? Ich habe leider keine Ahnung von
> linearer Algebra und "längenerhaltend" auch noch nie
> gehört, d.h. benutzen dürfte ichs wahrscheinlich auch
> nicht. :/ Ich weiß auch nicht, wie ich daraus dann die
> Beschränktheit folgern soll, ehrlich gesagt.
Gut, dann machen wir es anders - vielleicht sogar einfacher. 
Aus [mm] A^tA=I_n [/mm] folgt [mm] \delta_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ki}a_{kj}.
[/mm]
Mit i=j bekommst Du [mm] 1=\sum_{k=1}^n a_{ki}^2 [/mm] für [mm] i=1,\ldots,n.
[/mm]
Daraus folgt [mm] |a_{ij}|\le1 [/mm] für alle [mm] $1\le i,j\le [/mm] n$.
Nun verwende diese Abschätzung um zu zeigen, dass [mm] \|A\| [/mm] beschränkt ist.
LG
>
> Ich kann ehrlich gesagt gerade nicht mal formulieren, wie
> die einzelnen Komponenten von [mm]A\in\mathbb{O}(n)[/mm] beschaffen
> sein müssen, damit unter f [mm]A[/mm] auf [mm]I_n[/mm] abgebildet wird, weil
> ich sogar die Matrizenmultiplikation in einem Buch
> nachgucken musste. :(
>
> Hätte ich (mehr) Ahnung von Linearer Algebra, hätte mir
> der Tipp bestimmt weitergeholfen, also trotzdem danke!
>
> > Ja. Der Vektorraum der [mm]n\times n[/mm] Matrizen ist endlich
> > dimensional und kann mit [mm]\IK^{n^2}[/mm] identifiziert werden.
> > Daher gilt der Satz.
> >
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> > LG
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> Alles klar, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Lustique |
> [mm]I_n[/mm] ist keine Menge, sondern eine Matrix.
Ja, da hast du natürlich Recht. [mm] $I_n$ [/mm] ist das Bild, und [mm] $\{I_n\}$ [/mm] die Bildmenge mit nur einem Element (denke ich mal).
> Wenn Du in a) gezeigt hast, dass f stetig ist, dann
> erhältst Du in b) so die Abgeschlossenheit von O(n).
>
> Um die Stetigkeitvon f zu zeigen, reicht es wiederum
> [mm]\IK^{n\times n}[/mm] mit [mm]\IK^{n^2}[/mm] zu identifizieren.
> Dann sind die einzelnen Komponenten von f jeweils
> Polynomfunktionen und damit stetig.
Ja danke, so hatte ich mir das auch schon gedacht.
> Gut, dann machen wir es anders - vielleicht sogar
> einfacher.
>
> Aus [mm]A^tA=I_n[/mm] folgt [mm]\delta_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ki}a_{kj}.[/mm]
>
> Mit i=j bekommst Du [mm]1=\sum_{k=1}^n a_{ki}^2[/mm] für
> [mm]i=1,\ldots,n.[/mm]
>
> Daraus folgt [mm]|a_{ij}|\le1[/mm] für alle [mm]1\le i,j\le n[/mm].
>
> Nun verwende diese Abschätzung um zu zeigen, dass [mm]\|A\|[/mm]
> beschränkt ist.
>
> LG
Danke dir nochmals! [mm] $\delta_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ki}a_{kj}$ [/mm] hatte ich auch schon als [mm] $\delta_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{jk}a_{kj}$, [/mm] aber auf die Idee, dass man dann $i=j$ setzen darf und dann entsprechend folgern kann, was du gemacht hast, bin ich nicht gekommen. Die Beschränktheit ist ja dann einfach zu zeigen.
Für [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] muss ich übrigens doch nichts mehr zeigen, da in der Aufgabe ein Fehler war und alles nur für [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] und nicht für [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] gezeigt werden musste.
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http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Gruppe#Topologische_Eigenschaften
