Orthogonales Komplement < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 So 24.03.2013 | | Autor: | Makito |
| Aufgabe | Sei $ [mm] U:=\{\vektor{x \\ y \\ z } \in \IR^{3} | x - y + z = 0 \} [/mm] $
Geben Sie eine Basis des orthogonalen Komplements $ [mm] U^{\perp} [/mm] $ an. |
Guten Tag,
ich sitze grade vor dieser Aufgabe und bin mir nicht ganz sicher, wie genau ich das ganze Lösen soll. Bisher habe ich mir folgendes überlegt:
Durch simples Umformen erhalte ich x=y-z. Wenn ich dies nun in den Vektor einsetze bekomme ich:
[mm] \vektor{y-z \\ y \\ z } [/mm] = [mm] \vektor{y \\ y \\ 0 } [/mm] + [mm] \vektor{-z \\ 0 \\ z } [/mm] = [mm] x*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] z*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Die beiden Vektoren bilden jetzt die Basis von U (wenn ich das richtig verstanden habe)
Um jetzt das orthogonale Komplement zu erhalten rechne ich:
0 = [mm] <\vektor{1 \\ 1 \\ 0 },\vektor{a \\ b \\ c }> [/mm] = a+b
und
0 = [mm] <\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 },\vektor{a \\ b \\ c }> [/mm] = -a+c
Es folgt b=-a und a=c.
Damit kann ich den Vektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c } [/mm] nun umschreiben zu [mm] \vektor{a \\ -a \\ a } [/mm] = [mm] a*\vektor{1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] und jetzt weiß ich nicht mehr weiter; Ist dieser Vektor schon Basis des orthogonalen Komplements oder muss ich das ganze wieder auseiannderziehen (womit ich bei der Basis für $ U landen würde)?
Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.
MfG
Makito
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 So 24.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]U:=\{\vektor{x \\ y \\ z } \in \IR^{3} | x - y + z = 0 \}[/mm]
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> Geben Sie eine Basis des orthogonalen Komplements [mm]U^{\perp}[/mm]
> an.
> Guten Tag,
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> ich sitze grade vor dieser Aufgabe und bin mir nicht ganz
> sicher, wie genau ich das ganze Lösen soll. Bisher habe
> ich mir folgendes überlegt:
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> Durch simples Umformen erhalte ich x=y-z. Wenn ich dies nun
> in den Vektor einsetze bekomme ich:
>
> [mm]\vektor{y-z \\ y \\ z }[/mm] = [mm]\vektor{y \\ y \\ 0 }[/mm] +
> [mm]\vektor{-z \\ 0 \\ z }[/mm] = [mm]x*\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }[/mm] +
> [mm]z*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
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> Die beiden Vektoren bilden jetzt die Basis von U (wenn ich
> das richtig verstanden habe)
>
> Um jetzt das orthogonale Komplement zu erhalten rechne
> ich:
>
> 0 = [mm]<\vektor{1 \\ 1 \\ 0 },\vektor{a \\ b \\ c }>[/mm] = a+b
>
> und
>
> 0 = [mm]<\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 },\vektor{a \\ b \\ c }>[/mm] = -a+c
>
> Es folgt b=-a und a=c.
>
> Damit kann ich den Vektor [mm]\vektor{a \\ b \\ c }[/mm] nun
> umschreiben zu [mm]\vektor{a \\ -a \\ a }[/mm] = [mm]a*\vektor{1 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
> und jetzt weiß ich nicht mehr weiter; Ist dieser Vektor
> schon Basis des orthogonalen Komplements oder muss ich das
> ganze wieder auseiannderziehen (womit ich bei der Basis
> für $ U landen würde)?
>
> Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] ist eine Basis des orth. Komplements von U..
Das hättest Du viel einfacher bekommen können, wenn Du Dich an Deine Schulzeit erinnert hättest.
$ [mm] U:=\{\vektor{x \\ y \\ z } \in \IR^{3} | x - y + z = 0 \} [/mm] $ ist eine Ebene im [mm] \IR^3, [/mm] die durch den Ursprung geht (somit ein Untervektorraum von [mm] \IR^3). [/mm] Es ist also dim(U)=2
Die zugeh. Ebenengleichung ist
x - y + z = 0 .
Na, welcher Vektor [mm] \vec{n} [/mm] steht senkrecht auf dieser Ebene ?
Bingo ! Der Vektor [mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] (das ist , bis auf die Länge, ein Normalenvektor der Ebene.
Klingelt da was ?
FRED
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> MfG
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> Makito
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 So 24.03.2013 | | Autor: | Makito |
Ok, vielen Dank für die schnelle Antwort. Dass es sich hierbei um eine Ebene handelt hätte ich sehen müssen, tut mir leid...
Etwas verwundert hat mich nur, dass die Basis des orthogonalen Komplements genau dem Unterraum entsprach. Also die Gleichung für den Unterraum lautete x-y+z=0; Gesuchte Lösung war am Ende {1,-1,1}
Ich habe das ganze nochmal an einem ähnlichen Bsp. versucht und bin wieder auf das selbe Ergebnis gestoßen.
$ [mm] U:=\{\vektor{x \\ y \\ z } \in \IR^{3} | 2x + 3y + 2z = 0 \} [/mm] $
Basis des orthogonalen Komplements ist $ [mm] U:=\{\vektor{1 \\ 1.5 \\ 1 }}, [/mm] was ein Vielfaches der Unterraumsgleichung ist. Ist das Zufall oder kann man bei solchen Aufgaben die Lösung direkt an Gleichung erkennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 24.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok, vielen Dank für die schnelle Antwort. Dass es sich
> hierbei um eine Ebene handelt hätte ich sehen müssen, tut
> mir leid...
>
> Etwas verwundert hat mich nur, dass die Basis des
> orthogonalen Komplements genau dem Unterraum entsprach.
> Also die Gleichung für den Unterraum lautete x-y+z=0;
> Gesuchte Lösung war am Ende {1,-1,1}
>
> Ich habe das ganze nochmal an einem ähnlichen Bsp.
> versucht und bin wieder auf das selbe Ergebnis gestoßen.
>
> [mm]U:=\{\vektor{x \\ y \\ z } \in \IR^{3} | 2x + 3y + 2z = 0 \}[/mm]
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> Basis des orthogonalen Komplements ist $ [mm]U:=\{\vektor{1 \\ 1.5 \\ 1 }},[/mm]
> was ein Vielfaches der Unterraumsgleichung ist. Ist das
> Zufall oder kann man bei solchen Aufgaben die Lösung
> direkt an Gleichung erkennen?
Na klar: Ist [mm] U:=\{\vektor{x \\ y \\ z } \in \IR^{3} | ax + by + cz = 0 \}, [/mm] wobei [mm] (a,b,c)^T \ne (0,0,0)^T, [/mm] so ist U eine Ebene durch (0,0,0).
Der Vektor [mm] \vektor{a\\ b \\ c } [/mm] ist orthogonal zu , das siehst Du doch an
[mm] \vektor{a\\ b \\ c } *\vektor{x \\ y \\ z }=0 [/mm] für alle [mm] (x,y,z)^T \in [/mm] U
(Skalarprodukt)
Damit ist [mm] U^{\perp}=\{t* \vektor{a\\ b \\ c }: t \in \IR \}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 So 24.03.2013 | | Autor: | Makito |
Ok, alles klar. Problem gelöst, vielen Dank dafür!
MfG
Makito
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