Orthogonalisierungsverfahren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mi 25.01.2006 | | Autor: | nebben |
| Aufgabe | Bestimmen Sie orthogonale Basen
a.) des von $(1,1,1,0)$, $(0,-1,2,1)$ und $(2,0,1,1)$ erzeugten UVR von [mm] $\IR^4$ [/mm] bezüglich des Standardskalarprodukts.
b.) des von $1, x, [mm] x^2, x^3$ [/mm] erzeugten Untervektorraums der stetigen Funktion $f:[0,1] [mm] \to\IR$ [/mm] bezüglich des Skalarprodukts
[mm] $\langle f,g\rangle= \integral_{0}^{1} [/mm] f(x)g(x) dx$ |
Hi
Teilaufgabe a.) kann man mit dem Orthogonalierungsverfahren
lösen:
[mm] u_n=v_n- \summe_{i=1}^{n-1} \bruch{}{}u_i
[/mm]
Also:
[mm] u_1=v_1
[/mm]
[mm] u_2=v_2- \bruch{}{}u_1
[/mm]
[mm] u_3=v_3-\bruch{}{}u_1-\bruch{}{}u_2
[/mm]
mit z.b.:
[mm] = u_1*u_1
[/mm]
ergibt orthogonalen Basen:
[mm] u_1=(1,1,1,0)
[/mm]
[mm] u_2=(-\bruch{1}{3},-\bruch{4}{3},\bruch{5}{3},1)
[/mm]
[mm] u_3=(\bruch{19}{17},-\bruch{9}{17},-\bruch{10}{17},\bruch{11}{17})
[/mm]
und es gilt
[mm] [/mm] =0
[mm] [/mm] =0
[mm] [/mm] =0
Bei Teilaufgabe b) kann man vermutlich aud das Orthogonalisierungsverfahren anwenden, jedoch nicht bezüglich des Standardskalarprodukts sondern bezüglich des Skalarprodukts
<f,g>= [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] f(x)g(x) dx
Die Ausgangsbasis ist [mm] {v_1 ,v_2 ,v_3 ,v_4} [/mm] mit
[mm] v_1=1
[/mm]
[mm] v_2=x
[/mm]
[mm] v_3=x^2
[/mm]
[mm] v_4=x^3
[/mm]
Also [mm] u_1= v_1=1
[/mm]
Weiter gilt:
[mm] u_2=v_2- \bruch{}{ }u_1
[/mm]
Wie berechent man [mm] [/mm] bezüglich dem speziellen Skalarprodukt?
Warum ist es 1/2?
Oder auf welchem Weg sollte man b.) lösen?
Ich bin euch für jede Hilfe dankbar. Gruß nebben
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Hallo nebben,
> Bestimmen Sie orthogonale Basen
>
> a.) des von (1,1,1,0),(0,-1,2,1) und (2,0,1,1) erzeugten
> UVR von [mm]\IR^4[/mm] bezüglich des Standardskalarprodukts.
>
> b.) des von 1, x, [mm]x^2, x^3[/mm] erzeugten Untervektorraum der
> stetigen Funktion f:[0,1]-> [mm]\IR[/mm] bezüglich des
> Skalarprodukts
>
> <f,g>= [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] f(x)g(x) dx
> Hi
>
> Teilaufgabe a.) kann man mit dem
> Orthogonalierungsverfahren
> lösen:
>
>
> [mm]u_n=v_n- \summe_{i=1}^{n-1} \bruch{}{}u_i[/mm]
>
>
> Also:
>
>
> [mm]u_1=v_1[/mm]
>
> [mm]u_2=v_2- \bruch{}{}u_1[/mm]
>
> [mm]u_3=v_3-\bruch{}{}u_1-\bruch{}{}u_2[/mm]
>
> mit z.b.:
> [mm]= u_1*u_1[/mm]
>
>
> ergibt orthogonalen Basen:
>
>
> [mm]u_1=(1,1,1,0)[/mm]
>
> [mm]u_2=(-\bruch{1}{3},-\bruch{4}{3},\bruch{5}{3},1)[/mm]
>
> [mm]u_3=(\bruch{19}{17},-\bruch{9}{17},-\bruch{10}{17},\bruch{11}{17})[/mm]
>
>
> und es gilt
>
>
> [mm][/mm] =0
> [mm][/mm] =0
> [mm][/mm] =0
>
>
>
> Bei Teilaufgabe b) kann man vermutlich aud das
> Orthogonalisierungsverfahren anwenden, jedoch nicht
> bezüglich des Standardskalarprodukts sondern bezüglich des
> Skalarprodukts
>
>
> <f,g>= [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] f(x)g(x) dx
>
> Die Ausgangsbasis ist [mm]{v_1 ,v_2 ,v_3 ,v_4}[/mm] mit
>
> [mm]v_1=1[/mm]
>
> [mm]v_2=x[/mm]
>
> [mm]v_3=x^2[/mm]
>
> [mm]v_4=x^3[/mm]
>
>
> Also [mm]u_1= v_1=1[/mm]
>
>
> Weiter gilt:
>
>
> [mm]u_2=v_2- \bruch{}{ }u_1[/mm]
>
>
> Wie berechent man [mm][/mm] bezüglich dem speziellen
> Skalarprodukt?
> Warum ist es 1/2?
>
> Oder auf welchem Weg sollte man b.) lösen?
>
da wendest Du die Definition des Skalarproduktes an:
[mm] < v_2 ,\;u_1 > \; = \;\int\limits_0^1 {x\; \bullet \;1\;dx} \; = \;\int\limits_0^1 {x\;dx} \; = \;\left. {\frac{{x^2 }}
{2}} \right|_0^1 \; = \;\frac{1}
{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 Do 26.01.2006 | | Autor: | nebben |
Hi Mathepower,
wie rechnet man von
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] x dx nach [mm] \left {\frac{{x^2 }} {2}} \right|_0^1 \; [/mm] ?
gruß nebben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Do 26.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo nebben
Wenn du lin Algebra machst, musst du doch eigentlich integrieren können?!
Oder was sagt dir denn [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {x dx}?
Oder bist du ein Früheinsteiger in die Uni und auf der Schule noch nicht beim Integral?
Dann geht die Frage über unsere Möglichkeiten raus.
Also sag bitte genau, was du nicht kannst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 26.01.2006 | | Autor: | nebben |
Das sagt mir nur das es sich um ein Integral von 0 bis 1 handelt. Wie behandelt man dieses Integral? Ich habe es mal gelernt. Ich kann mich aber nicht mehr errinnern. Glaubst du, dass du was weißt?
Kann man doch sagen, dass man die Grenzen durch die Dimension teilt und dann die obere Grenze minus untere Grenze rechnet.
Also:
[mm] \integral_{0}^{1}x dx=\frac{1}{2}-\frac{0}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Do 26.01.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Nebben,
es gibt da doch eine  Potenzregel!
Wenden wir sie hier einmal an:
[mm] \integral {x^{1} dx}=\bruch{x^{1+1}}{1+1}+C=\bruch{1}{2}*x²+C
[/mm]
Wenn du dann, wie du es gemacht hast die Grenzen einsetzt, erhältst du als Ergebnis [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 26.01.2006 | | Autor: | nebben |
Die Regel heißt Potenzregel.
Wenn man das spezielle Skalarprodukt auf [mm] [/mm] anwendet, wie sieht dann das Integral aus?
[mm] u_2 [/mm] ist ja [mm] v_2- \bruch{1}{2}= x^2-\bruch{1}{2}
[/mm]
Also:
[mm] = \integral_{0}^{1} x^4- \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] dx=
[mm] =\integral_{0}^{1} x^4 [/mm] dx - [mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{1} x^2 [/mm] dx + [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
gruß nebben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Do 26.01.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
also bei mir ist [mm] =x^{4}-\red{2}*\bruch{1}{2}*x²+\bruch{1}{4}=x^{4}-x²+\bruch{1}{4}
[/mm]
Vom Prinzip her ist deine Lösung richtig, nur dass bei dem [mm] \bruch{1}{4} [/mm] noch ein [mm] \green{x^{0}} [/mm] steht, was ja soviel wie 1 bedeutet - jedoch beim Integrieren nicht vernachlässigt werden darf.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Do 26.01.2006 | | Autor: | nebben |
Für das integrierte Skalarprodukt ergibt sich:
[mm] [/mm] = [mm] \bruch{7}{60} [/mm]
[mm] [/mm] = [mm] \bruch{1}{30} [/mm]
Ist das richtig?
Wie kann ich das Skalarprodukt zum Beispiel mit Mathematica berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Do 26.01.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Für das integrierte Skalarprodukt ergibt sich:
>
> [mm][/mm] = [mm]\bruch{7}{60}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ja, das stimmt!
> [mm][/mm] = [mm]\bruch{1}{30}[/mm]
>
> Ist das richtig?
ist das [mm] v_{3} [/mm] richtig? Ich hab's nicht nachgeprüft.
> Wie kann ich das Skalarprodukt zum Beispiel mit Mathematica
> berechnen?
Kann ich nicht sagen, daher nur 'ne Mitteilung.
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Do 26.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo nebbe
die 2 Skalarprodukte sind richtig.
So einfache integrale mit mathematika auszurechnen ist eigetlich unnötig. Aber mathematika kann doch integrieren, wenn dus beherrschst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Fr 27.01.2006 | | Autor: | nebben |
> Vom Prinzip her ist deine Lösung richtig, nur dass bei dem
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] noch ein [mm]\green{x^{0}}[/mm] steht, was ja soviel
> wie 1 bedeutet - jedoch beim Integrieren nicht
> vernachlässigt werden darf.
Eine Konstante ist integriert immer gleich.
zum Beispiel soll 5 über dem Intervall a,b integriert werden:
[mm] \integral_{a}^{b} 5x^0 [/mm] dx = 5
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo nebben,
> > Vom Prinzip her ist deine Lösung richtig, nur dass bei dem
> > [mm]\bruch{1}{4}[/mm] noch ein [mm]\green{x^{0}}[/mm] steht, was ja soviel
> > wie 1 bedeutet - jedoch beim Integrieren nicht
> > vernachlässigt werden darf.
>
>
> Eine Konstante ist integriert immer gleich.
>
> zum Beispiel soll 5 über dem Intervall a,b integriert
> werden:
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b} 5x^0[/mm] dx = 5
>
>
Du hast die Potenzregel nicht konsequent angewandt.
[mm] \integral {5*x^{0} dx}=5*\integral {x^{0} dx}=5*\bruch{x^{0+1}}{0+1}+C=5*\bruch{x^{1}}{1}+C=5*x+C\not=5.
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier