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Orthogonalität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Do 28.08.2008
Autor: defjam123

Hey Leute!

Wie kann man die Orthogonalität von einer Ebene in Paramterform und einer Gerade feststellen. Muss ich das Skalarprodukt beider Spannungsvektoren mit dem Richtungsvektor ausrechnen?

Gruss

        
Bezug
Orthogonalität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Do 28.08.2008
Autor: Somebody


> Hey Leute!
>  
> Wie kann man die Orthogonalität von einer Ebene in
> Paramterform und einer Gerade feststellen. Muss ich das
> Skalarprodukt beider Spannungsvektoren mit dem
> Richtungsvektor ausrechnen?

Richtig: Eine Ebene $E$ und eine Gerade $g$ (im 3dim Raum) sind genau dann orthogonal zueinander, wenn beide Spannvektoren, sagen wir [mm] $\vec{u_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{u_2}$, [/mm] der Ebene $E$ auf dem Richtungsvektor [mm] $\vec{v}_g$ [/mm] von $g$ senkrecht stehen. Wenn also [mm] $\vec{u_1}\cdot\vec{v}_g=0$ [/mm] und [mm] $\vec{u_2}\cdot\vec{v}_g=0$ [/mm] ist.

Wenn dies gilt steht nämlich der Richtungsvektor von $g$ (und damit $g$ selbst) senkrecht zu jeder Linearkombination der Spannvektoren [mm] $\vec{u}_1$ [/mm] und [mm] $\vec{u}_2$ [/mm] von $E$ und damit senkrecht zu jedem zur Ebene $E$ parallelen Vektor.

Bezug
                
Bezug
Orthogonalität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Do 28.08.2008
Autor: defjam123


> Wenn dies gilt steht nämlich der Richtungsvektor von [mm]g[/mm] (und
> damit [mm]g[/mm] selbst) senkrecht zu jeder Linearkombination der
> Spannvektoren [mm]\vec{u}_1[/mm] und [mm]\vec{u}_2[/mm] von [mm]E[/mm] und damit
> senkrecht zu jedem zur Ebene [mm]E[/mm] parallelen Vektor.

Hey, danke für deine Hilfe. Versteh das nicht genau. Könnte man das noch mit anderen Worten erklären :-).

Gruss

Bezug
                        
Bezug
Orthogonalität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Do 28.08.2008
Autor: Somebody


> > Wenn dies gilt steht nämlich der Richtungsvektor von [mm]g[/mm] (und
> > damit [mm]g[/mm] selbst) senkrecht zu jeder Linearkombination der
> > Spannvektoren [mm]\vec{u}_1[/mm] und [mm]\vec{u}_2[/mm] von [mm]E[/mm] und damit
> > senkrecht zu jedem zur Ebene [mm]E[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

parallelen Vektor.

>
> Hey, danke für deine Hilfe. Versteh das nicht genau. Könnte
> man das noch mit anderen Worten erklären :-).

Ich versuch's mal, der Versucht könnte allerdings ein eher verwirrendes Ergebnis liefern:

Sei also etwa $E: \vec{x}=\vec{p}+s\vec{u}_1+t\vec{u}_2$ eine Parameterform der Ebene $E$ (mit Stützvektor $\vec{p}$ und Spannvektoren $\vec{u}_1$ und $\vec{u}_2}$).
Sind dann $\vec{x}_1=\vec{p}+s_1\vec{u}_1+t_1\vec{u}_2$ und $\vec{x}_2=\vec{p}+s_2\vec{u}_1+t_2\vec{u}_2$ die Ortsvektoren zweier Punkte $X_1,X_2$ der Ebene $E$ (für geeignet gewählte Parameterwerte $s_1,t_1$ bzw. $s_2,t_2$) so folgt, dass der Verbindungsvektor $\vec{X_1X}_2=\vec{x}_2-\vec{x}_1=(s_2-s_1)\vec{u}_1+(t_2-t_1)\vec{u}_2$ dieser beiden (beliebigen) Punkte eine Linearkombination der Spannvektoren $\vec{u}_1$ und $\vec{u}_2$ von $E$ ist.

Gilt nun für den Richtungsvektor $\vec{v}_g$ der Geraden $g$, dass sowohl $\vec{u}_1\cdot \vec{v}_g=0$ als auch $\vec{u}_2\cdot\vec{v}_g=0$ ist, dann folgt auch, dass $\vec{X_1X}_2\cdot\vec{v}_g=0$ gilt, denn

[mm]\vec{X_1X}_2\cdot\vec{v}_g=\left((s_2-s_1)\vec{u}_1+(t_2-t_1)\vec{u}_2\right)\cdot\vec{v}_g=(s_2-s_1)\vec{u}_1\cdot\vec{v}_g+(t_2-t_1)\vec{u}_2\cdot\vec{v}_g=0+0=0[/mm]

Also steht [mm] $\vec{v}_g$ [/mm] senkrecht auf allen Vektoren, die zwei beliebige Punkte [mm] $X_1, X_2$ [/mm] von $E$ "verbinden" (spricht: senkrecht zu allen Vektoren, die zu $E$ parallel sind).

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