Orthogonalität von Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 So 05.09.2010 | | Autor: | KylexD |
| Aufgabe 1 | | Gib je vier Vektoren an, die zum Vektor [mm] \vec{v} [/mm] orthogonal sind. [mm] \vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Gegeben sind eine Gerade und zwei Punkte.
(1) [mm] g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+ [/mm] λ* [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}
[/mm]
A (0/0/1), B (1/3/-2)
Bestimme drei Geraden, welche die Gerade g orthogonal schneiden.
Welche Gerade ist orthogonal zur Geraden g und geht durch den Punkt A bzw. B. |
Hallo zusammen,
bei der ersten Aufgabe kann man das ja eigentlich durch probieren herausfinden oder? Nur was mich interessiert ist, ob es bei dieser Aufgabe einen speziellen Rechenweg gibt, um die 4 Vektoren zu finden. Bei der zweiten Aufgabe stehe ich insgesamt ein bisschen auf dem Schlauch^^ Danke schonmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 05.09.2010 | | Autor: | KylexD |
Ja das kenne ich schon, also kann man das nur so lösen, indem man ausprobiert, oder gibt es für solche Aufgaben noch andere Möglichkeiten als das Skalar- und Vektorprodukt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 So 05.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo KylexD!
Was willst Du denn noch? Mit "ausprobieren", Skalarpordukt oder Vektorprodukt hast Du doch bereits drei mögliche und unterschiedliche Lösungswege, welche Du beschreiten kannst.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 05.09.2010 | | Autor: | KylexD |
Ist ja schon gut, ich habe lediglich eine Frage gestellt. Aufgabe 1 habe ich jetzt auch schon gelöst. An die anderen, vielleicht kann mir jemand bei Aufgabe 2 helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 So 05.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja das kenne ich schon, also kann man das nur so lösen,
> indem man ausprobiert, oder gibt es für solche Aufgaben
> noch andere Möglichkeiten als das Skalar- und
> Vektorprodukt?
nein, nicht wirklich - jedenfalls nichts eleganteres. Du musst beachten, dass es zu einem (Nichtnull-)Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] stets unendlich viele Vektoren gibt, die senkrecht auf diesen stehen.
(Tipp: Halte einen Bleistift vor Dein Gesicht - dieser stehe für eine Gerade im Raum - d.h. Du findest einen Nichtnullvektor, der Richtungsvektor dieser Geraden ist - dieser Richtungsvektor wiederum repräsentiert die zu Deiner Geraden eindeutig bestimmte Ursprungsgeraden. Hast Du nun einen Vektor, der "senkrecht auf den Bleistift steht" (dafür kannst Du ja entsprechend einen anderen Bleistift "an Deinen Bleistift anlegen"), dann kannst Du diesen ja "um den ersten Bleistift drehen lassen" (Drehachse ist also "der erste Bleistift"), sodass die beiden Bleistifte weiterhin senkrecht aufeinander stehen.)
Ich würde hier übrigens das Vektorprodukt bevorzugen. Bei Dir ist ja ein Vektor
[mm] $$\vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$
[/mm]
gegeben. Nun wähle halt einen weiteren Vektor [mm] ${\vec v}_1\,,$ [/mm] der linear unabhängig von [mm] $\vec [/mm] v$ ist, und berechne [mm] $\vec{n}_1:=\vec [/mm] v [mm] \times {\vec v}_1\,.$
[/mm]
Nun wähle einen weiteren Vektor [mm] $\vec{v}_2\,,$ [/mm] der bzgl. der "Basis" [mm] $\vec v\,,\;{\vec v}_1$ [/mm] linear unabhängig ist: Genauer meine ich, dass
[mm] $$\vec v\,,\;{\vec v}_1,\;{\vec v}_2$$
[/mm]
linear unabhängig sein sollen. Dann berechne [mm] $\vec{n}_2:=\vec{v} \times \vec{v}_2\,.$
[/mm]
(Das bedeutet, dass [mm] $\vec{v}_2$ [/mm] nicht in der Ebene (durch den Nullpunkt) liegt, die durch [mm] $\vec{v},\;{\vec v}_1$ [/mm] aufgespannt wird. Wäre [mm] $\vec{v}_2$ [/mm] in dieser Ebene, so wäre [mm] $\vec{n}_2$ [/mm] ein skalares Vielfaches von [mm] $\vec{n}_1\,,$ [/mm] was natürlich etwas "uninteressant" wäre.)
Im nächsten Schritt soll dann halt [mm] $\vec{v}_3$ [/mm] so gewählt werden, dass [mm] $\vec{v}_3$ [/mm] in keiner der beiden Ursprungsebenen, die nun durch "die bereits gefundenen Normalenvektoren [mm] $\vec{n}_i$ [/mm] ($i=1,2$), liegt, und dann wird [mm] $\vec{n}_3:=\vec{v}\times \vec{v}_3$ [/mm] berechnet werden etc. pp..
Also, z.B.
[mm] $$\vec{n}_1:=\vec{v}\times\vektor{1\\0\\0}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\vec{n}_2:=\vec{v}\times\vektor{0\\1\\0}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\vec{n}_3:=\vec{v}\times\vektor{0\\0\\1}\,,$$
[/mm]
und
[mm] $$\vec{n}_4:=\vec{v}\times\vektor{1\\1\\0}\,$$
[/mm]
wären gut zu berechnende Vektoren, wobei man sich schon fast "anschaulisch" klarmachen kann, warum durch diese 4 Vektoren [mm] $\vec{n}_i$ [/mm] ($i=1,2,3,4$) auch 4 verschiedene (Ursprungs-)Ebenen (eindeutig) bestimmt sind.
P.S.:
Spätestens bei "viel mehr als 3 Vektoren", die auf einen senkrecht stehen, würde ich das ganze dann doch mit dem Skalarprodukt berechnen. Denn:
Ist [mm] $\vec{n}=\vektor{n_1\\n_2\\n_3}$ [/mm] so, dass [mm] $\vec{n} \perp \vec{v}\,,$ [/mm] so erhältst Du aus
[mm] $$\vec{n}\bullet\vec{v}=0$$
[/mm]
[mm] ("$\bullet$: [/mm] Skalarprodukt") ja nur eine Bedingung in den drei Variablen [mm] $n_1,n_2,n_3\,.$ [/mm] D.h. wähle zwei davon und berechne die dritte. Da man da ziemlich viel variieren kann, ist es ziemlich unwahrscheinlich, dass, wenn man dabei nicht gerade "blind" zwei Variablen wählt, zwei Vektoren berechnet werden, die linear abhängig sind.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 So 05.09.2010 | | Autor: | KylexD |
OK danke, dass ist eine sehr hilfreiche Erklärung, hat mir wirklich sehr geholfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 So 05.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gib je vier Vektoren an, die zum Vektor [mm]\vec{v}[/mm] orthogonal
> sind. [mm]\vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Gegeben sind eine Gerade und zwei Punkte.
> (1) [mm]g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+ \lambda*\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
>
> A (0/0/1), B (1/3/-2)
>
> Bestimme drei Geraden, welche die Gerade g orthogonal schneiden.
>
> Welche Gerade ist orthogonal zur Geraden g und geht durch den Punkt A bzw. B.
den ersten Teil der zweiten Aufgabe kann man mittels des ersten Teils lösen. Eine solche Gerade [mm] $\tilde{g}$, [/mm] die [mm] $g\,$ [/mm] schneidet, enthät stets einen Punkt von [mm] $g\,$ [/mm] (solche Punkte berechnest Du, indem Du für [mm] $\lambda$ [/mm] in obiger Darstellung konkrete Werte einsetzt!), und der Richtungsvektor von [mm] $\tilde{g}$ [/mm] steht senkrecht auf den Richtungsvektor von [mm] $g\,.$
[/mm]
Beim zweiten Teil der Aufgabe:
Sei
[mm] $$g_A:\;\vec{x}:=\vec{p}+t*\vec{r}_A\;\;(t \in \IR)$$
[/mm]
die Gerade, die senkrecht auf [mm] $g\,$ [/mm] steht und durch [mm] $A\,$ [/mm] geht (mach' Dir auch mal geometrisch klar, dass solche Geraden, sofern [mm] $A\,$ [/mm] nicht auf der Ausgangsgeraden [mm] $g\,$ [/mm] liegt, dann eindeutig bestimmt sind - edit: Ich gehe eigentlich davon aus, dass hier auch die Gerade gemeint ist, die [mm] $g\,$ [/mm] schneidet. Denn wenn man diese Bedingung wegläßt, gibt es keine eindeutig bestimmte Gerade. Dann würde jede Gerade
[mm] $$\tilde{g}:\;\;\vec{x}=\vec{a}+q*\vec{n}\;\;(q \in \IR)\,,$$
[/mm]
sofern [mm] $\vec{n}$ [/mm] senkrecht auf den Richtungsvektor von [mm] $g\,$ [/mm] steht, die geforderte Bedingung erfüllen.).
Dann muss es einen Schnittpunkt [mm] $S\,$ [/mm] zwischen [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $g_A$ [/mm] geben, so dass, mit [mm] $\vec{s}=S^T\,,$ [/mm] dann
[mm] $$(\vec{a}-\vec{s}) \perp \vektor{-1 \\ 3 \\ 5}\;\;\left(=Richtungsvektor \;\;von\;\;g\right)$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$(\*)\;\;(\vec{a}-\vec{s})\bullet \vektor{-1 \\ 3 \\ 5}=0$$
[/mm]
ist.
Ist Dir klar, wie Du diese geometrischen Bedingungen algebraisch umsetzen kannst?
(Tipp: In [mm] $g_A$ [/mm] kann man o.E. [mm] $\vec{p}=S^T$ [/mm] annehmen, und ferner kann man o.E. annehmen, dass [mm] $\vec{a}=\vec{s}+1*\vec{r}_A\,.$ [/mm] Aus der Bedingung [mm] $(\*)$ [/mm] alleine kannst Du dann [mm] $\vec{r}_A$ [/mm] noch nicht berechnen, aber weil [mm] $S\,$ [/mm] auch ein Punkt von [mm] $g\,$ [/mm] ist, gibt es ein [mm] $\lambda_S \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $$(\*\*)\;\;\vec{s}=\vektor{2\\1\\-1}+\lambda_S*\vektor{-1\\3\\5}\,.$$ [/mm]
Die letzte Gleichung [mm] $(\*\*)$ [/mm] in [mm] $(\*)$ [/mm] eingesetzt liefert Dir eine Gleichung, um [mm] $\lambda_S$ [/mm] und damit auch [mm] $S\,$ [/mm] zu berechnen. Damit bist Du dann schon fast fertig.)
Analog für [mm] $g_B\,,$ [/mm] wobei das die zu [mm] $g\,$ [/mm] senkrechte Gerade sei, die durch [mm] $B\,$ [/mm] gehe.
P.S.:
Alternativ kann man auch so vorgehen:
Ein Richtungsvektor von [mm] $g_A$ [/mm] muss senkrecht auf die Ebene, die durch den Richtungsvektor von [mm] $g\,$ [/mm] und einem Differenzvektor, gebildet durch die Differenz von [mm] $A\,$ [/mm] und einem Punkt [mm] $P\,$ [/mm] von [mm] $g\,,$ [/mm] stehen. Mit dem Kreuzprodukt kann man sowas schnell berechnen. Nennen wir einen solchen Richtungsvektor wieder [mm] $\vec{r}_A\,.$ [/mm] (Es kann aber ein anderer wie obiger [mm] $\vec{r}_A$ [/mm] sein!)
Danach muss man quasi den Stützvektor [mm] $\vec{s}_A$ [/mm] der gesuchten Geraden so berechnen, dass
[mm] $$\vec{a}=\vec{s}_A+r_A*\vec{r}_A$$
[/mm]
mit einem [mm] $r_A \in \IR$ [/mm] gilt. (Das heißt dann nichts anderes, als dass man unter allen Geraden, die auf die gerade angegebene Ebene senkrecht stehen, genau die herausgreift, die durch [mm] $A\,$ [/mm] geht.)
Beste Grüße,
Marcel
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Skalarprodukt