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Forum "Uni-Sonstiges" - Orthogonalitätsrelation
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Orthogonalitätsrelation: Verständnisfrage zu Aufschrieb
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Fr 28.04.2006
Autor: Bastiane

Hallo mal wieder!

Folgendes haben wir definiert:  [mm] \omega:=e^{\bruch{2k\pi\:i}{N}} [/mm] wobei i die imaginäre Einheit ist. Dann haben wir aufgeschrieben:

[mm] \omega_k^N=1 [/mm]

das verstehe ich ja noch. :-)

[mm] \gdw 0=\omega_k^N-1=(\omega_k-1)(\omega_k^{N-1}+\omega_k^{N-2}+...+1) [/mm]

für [mm] \omega_k\not=1 [/mm] gilt dann:

[mm] \summe_{l=0}^{N-1}\omega_k^l=\begin{cases} N, & \mbox{für } k\in N*\IZ \\ 0, & \mbox{ sonst}\end{cases} [/mm]

Wie kommt man darauf? Und weiter steht hier noch:

[mm] \summe_{k=0}^{N-1}\omega_k^j\omega_k^{-k}=\summe_{k=0}^{N-1}\omega_k^{j-k}=\begin{cases}N, &\mbox{für } j-k\in N\IZ \\ 0, & \mbox{ sonst}\end{cases} [/mm]

Wie man darauf kommt, weiß ich auch nicht. Könnte mir das vielleicht jemand erklären?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


        
Bezug
Orthogonalitätsrelation: zum zwoten Punkt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:01 Di 02.05.2006
Autor: Peter_Pein

Hallo Bastiane,

es ist schon spät und ich mag nicht mehr nachdenken; aber meine Mustererkennung rastet für Deinen zweiten Punkt bei [mm] $e^a*e^b=e^{(a+b)}$ [/mm] ein. Wahrscheinlich war's zu einfach ;-)

Gruß,
  Peter


Bezug
        
Bezug
Orthogonalitätsrelation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:39 Di 02.05.2006
Autor: mathiash

Einen wunderschönen guten Morgen allen, die schon wach sind - und denen, die es noch werden müssen ! ;-)

Gucken wir:

Es ist ja

[mm] \sum_{l=0}^{N-1}\omega_k^l=\: \frac{\omega_k^N-1}{\omega -1} [/mm]

Daraus folgt schon mal die Aussage für den Fall [mm] k\not\in N\cdot \IZ. [/mm]

Für den Fall [mm] k\in N\cdot \IZ [/mm] ist ja  [mm] \omega_k=e^{\frac{2k\pi i}{N}}=1. [/mm]
Damit gilt auch [mm] \omega_k^j=1,\: 0\leq j\leq [/mm] N-1, und [mm] N\cdot [/mm] 1=N.

Soviel zur ersten Aussage, die zweite sollte sich direkt daraus ergeben, oder ?

Herzlichst,

Mathias



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