Orthogonalraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Fr 04.11.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Zu jedem Vektor [mm] \vec{v} \in \IR [/mm] können wir die Menge [mm] V_1={ \vec{x} \in \IR^n | <\vec{x},\vec{v}>=0 } [/mm] definieren, also die Menge aller zu [mm] \vec{v} [/mm] orthogonalen Vektoren. Daher nennt man [mm] V_1 [/mm] auch den Orthogonalraum von [mm] \vec{v}.
[/mm]
1)Welcher Orthogonalraum ergibt sich für [mm] \vec{v}=0?
[/mm]
2) Geben sie den Orthogonalraum von [mm] \vec{v}=\vektor{-2 \\ 3 \\ 1} [/mm] an. Wie kann man sich diesen geometrisch vorstellen? |
zu 1) Also für [mm] \vec{v}=0 [/mm] bedeutet es auch, dass [mm] <\vec{x},\vec{v}>=0 [/mm] ist (wie oben angegeben). Jetzt wurde folgender Schritt weiter gemacht:
[mm] =a<\vec{x},\vec{v}>=a*0=0 \forall [/mm] a [mm] \in \IR
[/mm]
Diesen Schritt kann ich mir nicht ganz erklären, was wurde damit gezeigt? Das egal welcher Faktor vor dem [mm] \vec{x} [/mm] steht, dieser immer =0 sein muss?
zu 2) Ja also geometrisch gesehen isses ja eine Ebene. Mit dem Orthogonalraum bin ich mir nicht ganz sicher. Es msste ja dann gelten: [mm] -2x_1+3x_2+x_3=0 [/mm] aaber was nun? Inwieweit kann ich da nen Orthogonalraum angeben?
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Hallo durden88,
> Zu jedem Vektor [mm]\vec{v} \in \IR[/mm] können wir die Menge [mm]V_1={ \vec{x} \in \IR^n | <\vec{x},\vec{v}>=0 }[/mm]
> definieren, also die Menge aller zu [mm]\vec{v}[/mm] orthogonalen
> Vektoren. Daher nennt man [mm]V_1[/mm] auch den Orthogonalraum von
> [mm]\vec{v}.[/mm]
>
> 1)Welcher Orthogonalraum ergibt sich für [mm]\vec{v}=0?[/mm]
> 2) Geben sie den Orthogonalraum von [mm]\vec{v}=\vektor{-2 \\ 3 \\ 1}[/mm]
> an. Wie kann man sich diesen geometrisch vorstellen?
> zu 1) Also für [mm]\vec{v}=0[/mm] bedeutet es auch, dass
> [mm]<\vec{x},\vec{v}>=0[/mm] ist (wie oben angegeben). Jetzt wurde
> folgender Schritt weiter gemacht:
>
> [mm]=a<\vec{x},\vec{v}>=a*0=0 \forall[/mm] a [mm]\in \IR[/mm]
>
> Diesen Schritt kann ich mir nicht ganz erklären, was wurde
> damit gezeigt? Das egal welcher Faktor vor dem [mm]\vec{x}[/mm]
> steht, dieser immer =0 sein muss?
>
Es wurde gezeigt, daß für jeden Vektor [mm]a*\overrigtharrow{x}[/mm],
das Skalarprodukt verschwindet.
> zu 2) Ja also geometrisch gesehen isses ja eine Ebene. Mit
> dem Orthogonalraum bin ich mir nicht ganz sicher. Es msste
> ja dann gelten: [mm]-2x_1+3x_2+x_3=0[/mm] aaber was nun? Inwieweit
> kann ich da nen Orthogonalraum angeben?
Löse die Gleichung
[mm]-2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=0[/mm]
nach einer Variablen auf.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Fr 04.11.2011 | | Autor: | durden88 |
Und wenn ich nach einer Variable, z.b. [mm] x_3 [/mm] würde sich anbieten aufgelöst habe, was dann? kann ich wieder in die ausgangsgleichug einsetzten und bekomme 0 raus?
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Hallo durden88,
> Und wenn ich nach einer Variable, z.b. [mm]x_3[/mm] würde sich
> anbieten aufgelöst habe, was dann?
Nun, du bekommst [mm]x_3=2x_1-3x_2[/mm]
Hier sind [mm]x_2,x_3[/mm] frei wählbare Parameter, setze also [mm]x_2=s, x_3=t[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm], so ist [mm]x_3=2s-3t[/mm]
Ein Lösungsvektor [mm]\vec{x}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] sieht also so aus:
[mm]\vec{x}=\vektor{s\\
t\\
2s-3t}=s\cdot{}\vektor{1\\
0\\
2}+t\cdot{}\vektor{0\\
1\\
-3}[/mm]
Der Orthogonalraum wird also von den beiden Vektoren [mm]\vektor{1\\
0\\
2}[/mm] und [mm]\vektor{0\\
1\\
-3}[/mm] aufgespannt.
Welches Gebilde ist das nun?
> kann ich wieder in die
> ausgangsgleichug einsetzten und bekomme 0 raus?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Sa 05.11.2011 | | Autor: | durden88 |
Ebene :)
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