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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 08.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Sei a,b ein Orthogonalsystem in [mm] \IR^3 [/mm] , d.h. ||a||=1=||b|| und <a,b>=0. Zeige, dass a,b, a [mm] \times [/mm] b eine Orthonormalbasis von [mm] \IR^3 [/mm] ist. |
ZuZeigen:
1)a,b, a [mm] \times [/mm] b linear unabhängig
2)<a, [mm] a\times [/mm] b > =0 und <b, a [mm] \times [/mm] b> =0
3) || a [mm] \times [/mm] b|| = 1
Zu 3) || a [mm] \times [/mm] b||= ||a|| ||b|| [mm] sin(\alpha) [/mm] = 1 * 1 * [mm] sin(\pi/2) [/mm] = 1
[mm] \alpha [/mm] : Winkel zwischen a , b
Das problem ist die Formel: || a [mm] \times [/mm] b||= ||a|| ||b|| [mm] sin(\alpha) [/mm] kenne ich nur von der Schule, und weiß nicht wie man sie beweisen kann.
Zu 2)
a ist orthogonal zu a [mm] \times [/mm] b, also ist [mm] \alpha=\pi/2 [/mm] -> <a,b> =0 (Poposition im Skriptum, wegen Cosinussatz)
Zu 1)
Soll ich dass wirklich formal genau beweisen?
Oder reicht hier eine Skizze?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Di 09.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich hab bemerkt dass man Punkt 2) auch explizit berechnen kann.
Aber bei Punkt 1) frag ich mich noch immer wie ich das am besten zeig!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
>
> Ich hab bemerkt dass man Punkt 2) auch explizit berechnen
> kann.
gut! Die Formel [mm] $\|a \times b\|=\|a\|\;\|b\|\ \sin \alpha$ [/mm] sollte eigentlich
in einem Schulbuch bewiesen sein.
> Aber bei Punkt 1) frag ich mich noch immer wie ich das am
> besten zeig!
Wir hatten mal eine lange Diskussion mit vielen Ideen - lies' einfach
mal
hier (klick me!)
Vielleicht überleg' ich mir gleich mal einen Beweis, wieso [mm] $\|a \times b\|=\|a\|\|b\| \sin \alpha$ [/mm] gilt, wenn man die "Koordinatenberechnungsdefinition"
von $a [mm] \times [/mm] b$ zugrundelegt...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:13 Di 09.10.2012 | | Autor: | sissile |
Die Diskussion ist supa ;)) Danke für die Verlinkung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Diskussion ist supa ;)) Danke für die Verlinkung.
gerne. Wofür hat man denn ein Gedächtnis. (Es ist immer wieder unglaublich,
an welche Diskussion ich mich hier erinnere, aber an Leute, mit denen ich
vor ein paar Wochen mal geredet haben soll...) 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Di 09.10.2012 | | Autor: | sissile |
XD , Gute Nacht ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Sei a,b ein Orthogonalsystem in [mm]\IR^3[/mm] , d.h. ||a||=1=||b||
> und <a,b>=0. Zeige, dass a,b, a [mm]\times[/mm] b eine
> Orthonormalbasis von [mm]\IR^3[/mm] ist.
> ZuZeigen:
> 1)a,b, a [mm]\times[/mm] b linear unabhängig
> 2)<a, [mm]a\times[/mm] b > =0 und <b, a [mm]\times[/mm] b> =0
> 3) || a [mm]\times[/mm] b|| = 1
>
> Zu 3) || a [mm]\times[/mm] b||= ||a|| ||b|| [mm]sin(\alpha)[/mm] = 1 * 1 *
Du kannst hier auch folgende Strategie fahren:
[mm] $\alpha$) [/mm] Nach Voraussetzung gilt $a [mm] \perp b\,.$
[/mm]
[mm] $\beta$) [/mm] Zeige: Es gilt auch $a [mm] \perp [/mm] a [mm] \times [/mm] b$ und $b [mm] \perp [/mm] a [mm] \times b\,.$ [/mm] (Also Dein Punkt 2).)
Alleine daraus folgern wir die lineare Unabhängigkeit von $a,b,a [mm] \times [/mm] b$:
Sei
[mm] $$r_1a+r_2b+r_3 [/mm] (a [mm] \times b)=0\,,$$
[/mm]
rechterhand steht die [mm] $0=(0,0,0)^t \in \IR^3\,.$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $$=<0,a>\,.$$
[/mm]
Ausrechnen: Daraus folgt, wie Du dann sehen wirst: [mm] $r_1=0\,.$
[/mm]
Analog: Arbeite mit
[mm] $$=<0,b>\,,$$
[/mm]
und auch mit
[mm] $$\,.$$
[/mm]
(Wenn Du magst: Stelle mal eine Behauptung auf: In einem
[mm] $n\,$ [/mm] dimensionalen Vektorraum [mm] $V\,$ [/mm] über [mm] $\IR$ [/mm] sind [mm] $\le n\,$ [/mm] Vektoren, die
paarweise orthogonal aufeinander stehen (das muss nicht bzgl. des
Standardskalarprodukts sein!)), stets linear unabhängig. Und dann
beweise dies!)
Deswegen ist nun eigentlich nur folgendes nötig:
Zeige den Punkt 2) - denn daraus folgt insbesondere 1). Mit 2) hast
Du dann gezeigt, dass $a,b, a [mm] \times [/mm] b$ eine OrthoGOnalbasis ist.
Weil aber nach Voraussetzung [mm] $\|a\|=\|b\|=1\,,$ [/mm] brauchst Du nun
nur noch [mm] $\|a \times b\|=1$ [/mm] bzw. [mm] $\|a \times b\|^2=1$ [/mm] nachrechnen
- dann folgt, dass Du eine ONB hast.
Ansonsten, wie gesagt: Ich habe Dir auch einen Link in der anderen
Antwort geschickt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:11 Di 09.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ergänzend nochmal:
Um [mm] $\|a \times b\|=1$ [/mm] einzusehen, braucht man auch nicht notwendigerweise
[mm] $\|a \times b\|=\|a\| \|b\| \sin \alpha\,.$
[/mm]
[mm] $$\|a \times b\|^2=
Jetzt benutze die ![[]](/images/popup.gif) Lagrange-Identität (in
dem Link steht auch direkt das drin, was Dich hier interessiert:
[mm] $\|a \times b\|^2=\|a\|^2\|b\|^2-()^2\,.$)
[/mm]
P.S. Die Lagrange-Identität, bzw. das, was hier als letztes zitiert wurde,
kann man aber eh benutzen, um Deine obige Formel zu beweisen!
Gruß,
Marcel
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