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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Orthogonaltrajektorien Aufgabe
Orthogonaltrajektorien Aufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Orthogonaltrajektorien Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Mi 08.07.2009
Autor: sp1nnaker

Aufgabe
Bestimme die Schar der ebenen Kurven, die auf allen Parabeln der Form [mm] y=a*(x^2+1) [/mm] senkrecht stehen

Hallo,
ich habe bis jetzt [mm] y'=2\*a\*x [/mm]  und [mm] g(x,y)=y'=\bruch{2*y}{x}-\bruch{2*a}{x} [/mm] berechnet.
Die neuer Kurvenschar müsste dann ja die DGL [mm] y'=\bruch{1}{-g(x,y)} [/mm] erfüllen, also [mm] a\*y-y\*y'-1/2\*x=0, [/mm] die hom. Lsg davon wäre ja [mm] y=a\*x+C, [/mm] wenn ich jetzt aber Variation der Konstanten anwende, bekomme ich einen rießen Term wo sich nichts wegkürzt.
Hab ich irgendwo ein Fehler gemacht, oder sollte man besser irgendwo substituieren?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Orthogonaltrajektorien Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Mi 08.07.2009
Autor: MathePower

Hallo sp1nnaker,

> Bestimme die Schar der ebenen Kurven, die auf allen
> Parabeln der Form [mm]y=a*(x^2+1)[/mm] senkrecht stehen
>  Hallo,
>  ich habe bis jetzt [mm]y'=2\*a\*x[/mm]  und
> [mm]g(x,y)=y'=\bruch{2*y}{x}-\bruch{2*a}{x}[/mm] berechnet.


Woher kommt dieses [mm]g\left(x,y\right) [/mm] ?


> Die neuer Kurvenschar müsste dann ja die DGL
> [mm]y'=\bruch{1}{-g(x,y)}[/mm] erfüllen, also [mm]a\*y-y\*y'-1/2\*x=0,[/mm]
> die hom. Lsg davon wäre ja [mm]y=a\*x+C,[/mm] wenn ich jetzt aber
> Variation der Konstanten anwende, bekomme ich einen rießen
> Term wo sich nichts wegkürzt.
>  Hab ich irgendwo ein Fehler gemacht, oder sollte man
> besser irgendwo substituieren?


Für die neue Kurvenschar muß gelten: [mm]y'=-\bruch{1}{2ax}[/mm]

Jetze eliminierst Du noch das a aus der gegebenen Kurvenschar.


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Orthogonaltrajektorien Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Mi 08.07.2009
Autor: sp1nnaker

Okay, ich habs glaub ich gecheckt: einfach die Ausgangsgleichung nach a umformen, in y' einsetzen und dann gilt für die neue Kurvenschar [mm] y'=\bruch{-x^2-1}{2\*x\*y}, [/mm] als Ergebnis bekomm ich dann [mm] y=\wurzel{-x^2/2-ln(abs(x))+C} [/mm]
Danke für die Hilfe

Bezug
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