Orthonorm.basis aus Eigenvekt. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Di 13.11.2007 | | Autor: | batjka |
| Aufgabe | | Durch die Matrix A= [mm] \pmat{ 0 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -1 &-2 & 0 } [/mm] sei ein Endomorphismus [mm] \phi [/mm] des Stand.innenprod.raumes [mm] \IR^3 [/mm] bezgl. der Standardbasis definiert. Bestimme Orthonormalbasis aus Eigenvektoren für [mm] \phi [/mm] sowie die Darst.matrix von [mm] \phi [/mm] bezgl. dieser Basis. |
Hallo
ich habe zuerst das char. Polynom ausgerechnet [mm] P=(x+1)^2(x-5), [/mm] d.h Eigenwerte sind -1 und 5.
Eigenvektor zu -1: [mm] <\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 },\pmat{ -2 \\ 1 \\ 0 }>
[/mm]
Eigenvektor zu 5: [mm] <\pmat{ -1 \\ -2 \\ 1 }>
[/mm]
Dann habe ich das Orthogonalisierungsverfahren von Schmidt benutzt und so die Orthonormalbasis [mm] B=(t_1,t_2,t_3) [/mm] bestimmt:
B= [mm] \pmat{ 1/\wurzel{2} && -1/\wurzel{3} && -1/\wurzel{6}\\ 0 && 1/\wurzel{3} && -2/\wurzel{6}\\ 1/\wurzel{2} && 1/\wurzel{3} && 1/\wurzel{6}}
[/mm]
Frage: Was ist die Darst.matrix von [mm] \phi [/mm] bezgl. dieser Basis.
mfg
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Guten Tag. Du hast jetzt ja eine neue Basis aus Eigenvektoren bestimmt. Jetzt stellst du die neuen Basisvektoren als Linearkombination der Alten Basisvektoren da. Die Koeffizienten für den ersten Vektor [mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}} [/mm] sind ja [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} e_{1} +0*e_{2}+\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] e_{3}. [/mm] Die KOeffizienten kommen in die erste Spalte deiner Transformationsmatrix T. Dann dasselbe für den zweiten und dritten neuen Basisvektor machen. Die Neue Abbildungsmatrix ergibt sich dann als B= [mm] T^{-1}*A*T [/mm] bzgl der Orthogonalmatrix
Einen schönen Tag wünsche ich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Mi 14.11.2007 | | Autor: | batjka |
Danke für die Antwort.
d.h [mm] A*x=b_i [/mm] wobei z.B [mm] b_1= [/mm] 1er Vektor meiner neuen Basis
Ich habe das ausgerechnet und das sieht recht gut aus
mfg
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