Orthonormalbasis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Es sei [mm] B=(b_{1},...,b_{n}) [/mm] eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^{n} [/mm] und v [mm] \in \IR^{n} [/mm] mit v = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{j} b_{j},\lambda_{j}\in \IR [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n.
Zeige, dass [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel _{2}^{2} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{j}^{2} [/mm] gilt.
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Hallo,
meine Frage ist :
[mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel _{2}^{2}=\summe_{i=1}^{n} \lambda_{j}^{2} [/mm] gilt muss bewiesen werden , d.h. z.Z:
[mm] |v_{1}^{2}|+|v_{2}^{2}| [/mm] + [mm] |v_{3}^{2}|+...+|v_{n}^{2}| [/mm] = [mm] \lambda_{1}^{2} [/mm] + [mm] \lambda_{2}^{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}^{2}+...+ \lambda_{n}^{2}. [/mm] Jetzt muss man [mm] v_{j} [/mm] bestimmen. Das ist genau meine Frage , wie ich [mm] v_{j} [/mm] bestimme. Sind diese [mm] v_{j} [/mm] eigentlich nicht [mm] \lambda_{j}b_{j}?
[/mm]
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
v [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
v = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{j} b_{j},\lambda_{j}\in \IR [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] n.
Ich habe gelesen,dass [mm] b_{j} [/mm] Funktionen aus [mm] L^{2}(U) [/mm] sind, die ihre Werte in [mm] \IC [/mm] haben. Wie kommt man darauf , dass v [mm] \in \IR^{n} [/mm] ist? Wenn ich [mm] b_{j} [/mm] ´s mit [mm] \lambda_{j} [/mm] aus [mm] \IR [/mm] multipliziere und dann alles zusammen addiere , komme ich wieder auf einen Wert in [mm] \IC [/mm] und nicht in [mm] \IR [/mm] für alle n.
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> Hallo,
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> v [mm]\in \IR^{n}[/mm]
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> v = [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{j} b_{j},\lambda_{j}\in \IR[/mm]
> für 1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] n.
>
> Ich habe gelesen,dass [mm]b_{j}[/mm] Funktionen aus [mm]L^{2}(U)[/mm] sind,
> die ihre Werte in [mm]\IC[/mm] haben. Wie kommt man darauf , dass v
> [mm]\in \IR^{n}[/mm] ist?
Hallo,
ich weiß nicht, was Du da wo gelesen hast.
In Deiner Aufgabe sind die [mm] b_i [/mm] Spaltenvektoren des [mm] \IR^n, [/mm] und da die Koeffizienten [mm] \lambd_i [/mm] lt. Aufgabenstellung reell sind, kann v nichts anderes sein als ein Element des [mm] \IR^n. [/mm] (und somit natürlich auch Element des [mm] \IC^n)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
im Buch Königsberger Analysis 2 steht auf der Seite 335 steht "Den Raum der über U quadratintegrierbaren Funktionen mit Werten in [mm] \IC [/mm] bezeichnet man mit [mm] L^{2}(U)(L [/mm] ist handschriftlich geschrieben). Und B ist Teilmenge dieses Raumes , also sind die Elemente aus dieser Teilmenge sind Funktionen mit Werten in [mm] \IC. [/mm] So habe ich das abgeleitet. Vielleicht habe ich falsch abgeleitet? Wo dann?
Gruss
Igor
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> im Buch Königsberger Analysis 2 steht auf der Seite 335
> steht "Den Raum der über U quadratintegrierbaren Funktionen
> mit Werten in [mm]\IC[/mm] bezeichnet man mit [mm]L^{2}(U)(L[/mm] ist
> handschriftlich geschrieben). Und B ist Teilmenge dieses
> Raumes , also sind die Elemente aus dieser Teilmenge sind
> Funktionen mit Werten in [mm]\IC.[/mm] So habe ich das abgeleitet.
> Vielleicht habe ich falsch abgeleitet? Wo dann?
Hallo,
es geht doch um die eingangs gestellte Aufgabe???
Wenn dem so ist, ist Dein Fehler der, daß Du nicht bereit bist zu akzeptieren, daß die [mm] b_i [/mm] lt. Voraussetzung [mm] \in \IR^n [/mm] sind.
Du sollst in dieser Aufgabe zeigen, daß man das Quadrat der eukl. Norm eines Vektors erhält, indem man die Koordinaten bzgl eine ONB quadriert und addiert.
Es kommen in Deiner Aufgabe keine solche Funktionen vor wie in Deinem Königsberger, denn der der Aufgabe zugrundeliegende Raum ist ein völlig anderer.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
als ich mich mit ONB beschäftigen wollte, habe ich angefangen danach in Büchern zu suchen, das erste was ich über ONB gelesen habe, war auf der Seite im Königsberger Analysis 2. Möglicherweise habe ich die "falsche" Seite geöffnet  .
Gruss
Igor
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> als ich mich mit ONB beschäftigen wollte, habe ich
> angefangen danach in Büchern zu suchen, das erste was ich
> über ONB gelesen habe, war auf der Seite im Königsberger
> Analysis 2. Möglicherweise habe ich die "falsche" Seite
> geöffnet .
>
Hallo,
so könnte es sein...
Entstammt Deine Aufgabe denn der Analysis-Vorlesung???
Mir sieht das eher nach Lineare Algebra 1 aus, und falls dem so ist, solltest Du in solchen Büchern suchen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Die Aufgabe ist aus dem Übungsblatt der Analysis 2 Vorlesung.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Sa 22.12.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe da nur eine Idee, will dir diese aber nicht vorenthalten 
Also, was mir sofort ins Auge gefallen ist bei dieser Aufgabe:
> Es sei $ [mm] B=(b_{1},...,b_{n}) [/mm] $ eine Orthonormalbasis des $ [mm] \IR^{n} [/mm] $
Was gilt denn so, wenn es sich um eine Orthogonalbasis handelt?
i) für alle [mm] b_i\in{B} [/mm] gilt: [mm] \parallel{b_i}\parallel=1
[/mm]
ii) für alle [mm] b_i,b_j\in{B}, [/mm] mit [mm] i\not=j [/mm] gilt: [mm] =0
[/mm]
Damit kann man doch arbeiten.
Desweiteren weißt du:
> v $ [mm] \in \IR^{n} [/mm] $ mit v = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{j} b_{j},\lambda_{j}\in \IR [/mm] $ für 1 $ [mm] \le [/mm] $ j $ [mm] \le [/mm] $ n.
Zu zeigen ist:
> dass $ [mm] \parallel [/mm] $ v $ [mm] \parallel _{2}^{2} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{j}^{2} [/mm] $ gilt.
Ich wäre wie folgt vorgegangen:
[mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel_2^2\red{=}\parallel{\summe_{i=1}^{n} \lambda_{j} b_{j}}\parallel_2^2=...
[/mm]
Hier noch ein wenig weiterrechnen, i) und ii) verwenden und dann müsstest du eigentlich zum Ziel kommen.
Viel Erfolg
barsch
[mm] \red{v=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{j}b_{j}} [/mm] nach Definition.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Danke barsch für die Idee
um eine Norm berechnen zu können, muss man die Komponenten kennen , also von v die [mm] v_{1} [/mm] bis [mm] v_{n} [/mm] Komponenten bzw. von der Summe. Ich habe keine Ahnung, was diese Komponenten sind.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> um eine Norm berechnen zu können, muss man die Komponenten
> kennen ,
Das ist nicht richtig; die Berechnung aus den Komponenten ist nur eine Möglichkeit.
Benutze
[mm] \|v\|_2^2 = \left [/mm]
und die Linearität des Skalarprodukts.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
welche Definition des Skalarprodukts ist hier gemeint?
<f,g>:= [mm] \integral_{U}^{}{f\overline{g} dx} [/mm] ?
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> Hallo,
>
> welche Definition des Skalarprodukts ist hier gemeint?
>
> <f,g>:= [mm]\integral_{U}^{}{f\overline{g} dx}[/mm] ?
Hallo,
nein, dieses Skalarprodukt ist sicher nicht gemeint.
Was sollte das sein? Das paßt doch hier gar nicht!
Das ist ein Skalarprodukt auf dem Funktionenraum.
Mit dem hast Du es aber nicht zu tun, sondern mit dem [mm] \IR^n, [/mm] und das zu verwendende Skalarprodukt ist natürlich irgendeins, welches auf dem Vektorraum [mm] \IR^n [/mm] definiert ist, z.B. das ganz gewöhnliche Euklidische Skalarprodukt. (Beachte, daß das Produkt orthogonaler Vektoren=0 ist.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wie kann man die Linearität des Skalarproduktes ausnutzen , um <v,v> ausrechnen zu können?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Setze die Definition von v ein: [mm] v= \summe_{i=1}^n \lambda_i b_i [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 So 23.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
was bringt das Einsetzen von der Summe? Ich weiss nur wie das Skalarprodukt im euklidischen Raum berechnet wird :<x,y> = [mm] x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+...+x_{n}y_{n}. [/mm] Wenn man das mit <v,v> macht dann : [mm] v_{1}v_{1}+v_{2}v_{2}+.....+v_{n}v_{n} [/mm] bzw. dasselbe mit der Summe , ich sehe nicht wie ich hier die Definition des Skalarproduktes sinnvol benutzen kann. Oder gibt es noch andere Möglichkeiten?
Gruss
Igor
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Hallo,
Du mußt Dich unbedingt mit der ![[]](/images/popup.gif) Def. des Skalarproduktes vertraut machen.
Wenn Du die kennst, kannst Du Dich an die Berechnung v.
[mm] =<\summe_{i=1}^{n} \lambda_{j} b_{j},\summe_{i=1}^{n} \lambda_{j} b_{j}> [/mm] machen, unter Verwendung dieser Eigenschaften.
Falls es Dir schwer fällt, schreib es halt mit einem Pünktchen * und schreib die Summe aus, dann hast Du
( [mm] \lambda_{1} b_{1}+\lambda_{2} b_{2}+...+\lambda_{n} b_{n})*( \lambda_{1} b_{1}+\lambda_{2} b_{2}+...+\lambda_{n} b_{n})= [/mm] ...
Du erhältst hier Summen v. Produkten [mm] b_i*b_j, [/mm] über die Du dann nachdenken mußt unter Berücksichtigung der Voraussetzungen, die in der Aufgabe gemacht wurden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 23.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
<v,v> = [mm] <\summe_{i=1}^{n}\lambda_{j}b_{j},\summe_{i=1}^{n}\lambda_{j}b_{j}> [/mm] = ? [mm] (\lambda_{1}b_{1}+\lambda_{2}b_{2}+...+\lambda_{n}b_{n})^{2}. [/mm] Warum kann man so schreiben?. Auf der angegebenen Seite habe ich ausser der Definition [mm] :=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n} [/mm] auch das gesehen:<x,y> = [mm] \summe_{i=1}^{n}\overline{x_{i}}\summe_{i=1}^{n}y_{j}=\summe_{i=1}^{n}\overline{x_{i}}y_{i}, [/mm] wobei die Rechenregeln des inneren Produktes erwähnt werden. Ich weiss nicht was hier mit dem inneren Produkt gemeint wird. Also, wo ich das Gleichheitszeichen rot markiert habe, kann ich das nicht explizit nachvollziehen, warum das gilt. Intuitiv würde ich sagen , dass die Partialsummen von [mm] \lambda_{j}b_{j} [/mm]
wie die Komponenten von v aussehen und dann direkt die Definition des Skalarproduktes anwenden, jedoch warum so ist, habe noch keine Erklärung gefunden.
Gruss
Igor
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> Hallo,
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> <v,v> =
> [mm]<\summe_{i=1}^{n}\lambda_{j}b_{j},\summe_{i=1}^{n}\lambda_{j}b_{j}>[/mm]
> = ?
> [mm](\lambda_{1}b_{1}+\lambda_{2}b_{2}+...+\lambda_{n}b_{n})^{2}.[/mm]
> Warum kann man so schreiben?
Hallo,
Du kannst das so schreiben, wenn Du weißt, was es bedeuten soll.
Ich schlug Dir vor, das Skalarprodukt statt mit spitzen Klammern mit einem Punkt zu schreiben, weil ich hoffte, daß Du dann die Eigenschaft "Produkt" etwas besser umsetzen kannst.
Allerdings scheinst Du Dich zu scheuen irgendetwas zu tun, denn ich sehe außer daß Du nun [mm] (...)^2 [/mm] geschreiben hast, keine weiteren Aktivitäten.
> Auf der angegebenen Seite
> habe ich ausser der Definition
Ich hoffte, so verlinkt zu haben, daß Du direkt bei der allegemeinen Definition landest.
Du kannst mit dem Standardskalarprodukt hier zunächst nicht so viel anfangen, möglicherweise habe ich mich an einer anderen Stelle mißverständlich ausgedrückt.
> Intuitiv würde ich sagen ,
Ich habe den Eindruck, daß Du noch nicht ganz sio weit bist, daß Du Dich v. Deiner Intuition leiten lassen solltest.
Konntest Du nicht endlich mal die Summanden von [mm] (v_1b_1+...+v_nb_n)*(v_1b_1+...+v_nb_n)) [/mm] hinschreiben?
"inneres Produkt" ist im Link ein anderer Ausdruck für Skalarprodukt, das wird bei der allg. Def. des Skalarproduktes erwähnt, und in der Tat mußt Du dessen Rechenregeln verwenden.
Und wenn Du ein Problem mit dem Punkt hast, dann berechene halt
[mm] , [/mm] das ergibt eine Summe v. Spitzen Klammern.
Um dies zu berechnen, mußt Du die Linearität im ersten und zweiten Argument beachten, eben die Eigenschaften des Skalarproduktes.
Was Du mit "Partialsummen" in diesem Zusammenhang meinst, weiß ich nicht.
Am besten, Du rechnest jetzt einfach mal, denn daran, DASS v mit v zu multiplizierne ist, besteht ja kein Zweifel.
Also tu es, und wir gucken dann, was herauskommt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Mo 24.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
Du hast statt [mm] \lambda_{i} [/mm]
[mm] v_{i} [/mm] geschrieben , war das so gewollt?
<v , v> = <Summe,Summe> = < [mm] \lambda_{1}b_{1} +\lambda_{2}b_{2} +...+\lambda_{n}b_{n},\lambda_{1}b_{1} +\lambda_{2}b_{2} +...+\lambda_{n}b_{n}> [/mm] = nach den Rechenregeln [mm] =<\lambda_{1}b_{1},\lambda_{1}b_{1}> [/mm] + [mm] <\lambda_{1}b_{1},\lambda_{2}b_{2}> [/mm] + ... [mm] +<\lambda_{1}b_{1},\lambda_{n}b_{n}> [/mm] + [mm] <\lambda_{2}b_{2},\lambda_{1}b_{1}> [/mm] + ... [mm] +<\lambda_{2}b_{2},\lambda_{n}b_{n}> [/mm] + ... [mm] +<\lambda_{n}b_{n},\lambda_{1}b_{1}> [/mm] + ... [mm] +<\lambda_{n}b_{n},\lambda_{n}b_{n}> [/mm]
Was ist der Wert von [mm] <\lambda_{1}b_{1},\lambda_{1}b_{1}> [/mm] ? bzw der Wert der anderen Argumente?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mo 24.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Was ist der Wert von [mm]<\lambda_{1}b_{1},\lambda_{1}b_{1}>[/mm] ?
Das Skalarprodukt ist bilinear, also [mm]<\lambda_{1}b_{1},\lambda_{1}b_{1}> =\lambda_1 = \lambda_1^2 [/mm], analog für alle anderen.
Die entstehenden Produkte [mm][/mm] kannst angeben, weil die [mm]b_i[/mm] ein Orthonormalsystem bilden.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Mo 24.12.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
aus der Definition der Orthonormalbasis : < [mm] b_{i},b_{j}> [/mm] =1 für j=i und < [mm] b_{i},b_{j}> [/mm] =0 für j ungleich i folgt
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\lambda_{j}^{2}.
[/mm]
Danke schön für die Hilfe
Gruss
Igor
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