Orthonormalbasis < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:35 Do 28.02.2008 | | Autor: | falko43 |
Vielleicht kann mir hier mal wieder jemand helfen:
Gegeben ist die Matrix
[mm] \pmat{ 6 & 0 & -5 \\ 0 & 2 & 1 \\ -5 & 1 & 6 }
[/mm]
Also hier die Aufgabenstellung:
Gegeben sei der $ [mm] \IR^3 [/mm] $ mit dem positiv definiten Skalarprodukt F (Matrix siehe oben) in Bezug auf die Standardbasis. Berechnen Sie die Orthogonalbasis für das Skalarprodukt.
Zu berechnen ist die Orthonormalbasis. Wie muss ich hier vorgehen? Bei Vektoren ist das klar (Vektor geteilt durch die Norm) aber bei Matrizen???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Fr 29.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> Zu berechnen ist die Orthonormalbasis. Wie muss ich hier
> vorgehen? Bei Vektoren ist das klar (Vektor geteilt durch
> die Norm) aber bei Matrizen???
Zum Beispiel: du nimmst die Standardbasis [m](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/m] und orthogonalisierst sie nach ![[]](/images/popup.gif) Gram-Schmidt. Beachte hierbei (wobei F deine Matrix ist), [m]=u^t F v[/m].
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Fr 29.02.2008 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Warum setzt du den Status einfach kommentarlos zurück? Hat dir meine Antwort nicht weiter geholfen? Ich hoffe du hast nicht erwartet, dass ich dir die Basis ausrechne. Habe ich etwas übersehen? Ich bin da etwas überfragt, wenn du das kommentarlos machst!
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Sa 01.03.2008 | | Autor: | falko43 |
Hallo SEcki,
erstmal möchte ich Dich um Entschuldigung bitten! War nicht meine Absicht, Deine Hilfe in irgendeiner Form zu kritisieren! Ich bin nur immer wieder von den Antworten hier im Forum etwas gefrustet, da ich sie mit meinem Hintergrundwissen nicht verstehe :-(
Wärst Du wohl so freundlich und könntest Deine Antwort noch etwas präziser Formulieren bzw. den Rechenweg etwas genauer beschreiben (natürlich will ich nicht, dass Du die Aufgabe rechnest - ein wenig Ehrgeiz ist mir noch geblieben 
Danke Dir !!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 So 02.03.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ich bin nur immer wieder von den Antworten
> hier im Forum etwas gefrustet, da ich sie mit meinem
> Hintergrundwissen nicht verstehe :-(
das kann schon einmal vorkommen. Die Antwortvon SEcki ist zwar kurz, aber dennoch hilfreich. Ich habe mir das einmal versucht mit den Hinweisen von SEcki zu erklären; bin auch gerade am Lernen für Lineare Algebra.
> Wärst Du wohl so freundlich und könntest Deine Antwort noch
> etwas präziser Formulieren bzw. den Rechenweg etwas genauer
> beschreiben (natürlich will ich nicht, dass Du die Aufgabe
> rechnest - ein wenig Ehrgeiz ist mir noch geblieben
Das ist gut, denn den brauchst du sicher noch oft 
Ich will es dir einmal (hoffentlich zu deiner Zufriedenheit ) erklären:
Die beiden Tipps von SEcki lauteten:
i) Gram-Schmidt-Verfahren
ii) [mm] =u^t*F*v
[/mm]
Iterationen zum Gram-Schmidt-Verfahren findest du bei Wikipedia oder in deinen Aufzeichnungen.
Wir haben die Standardbasis des [mm] \IR^3: v_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0},v_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0},v_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
1. Schritt: Normalisieren des 1. Vektors [mm] (v_1)
[/mm]
[mm] u_1=\bruch{1}{\parallel{v_1}\parallel}*v_1=\bruch{1}{\wurzel{}}*v_1
[/mm]
Jetzt Tipp ii): [mm] =v_1^t*F*v_1=(1,0,0)*\pmat{ 6 & 0 & -5 \\ 0 & 2 & 1 \\ -5 & 1 & 6 }*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=6, [/mm] also ist [mm] \wurzel{}=\wurzel{6}, [/mm] dass heißt
[mm] u_1=\bruch{1}{\parallel{v_1}\parallel}*v_1=\bruch{1}{\wurzel{}}*v_1=\bruch{1}{\wurzel{6}}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
2.Schritt: Orthogonalisieren des zweiten Vektors [mm] v_2
[/mm]
[mm] u_2'=v_2-*u_1
[/mm]
Auch hier Tipp ii): [mm] =v_2^t*F*u_1=(0,1,0)*\pmat{ 6 & 0 & -5 \\ 0 & 2 & 1 \\ -5 & 1 & 6 }*\bruch{1}{\wurzel{6}}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=0
[/mm]
[mm] u_2'=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-0*\bruch{1}{\wurzel{6}}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
3. Schritt: Normalisieren des Vektors [mm] u_2'
[/mm]
[mm] u_2=\bruch{1}{\parallel{v_2}\parallel}*v_2
[/mm]
Du kannst dich jetzt an Schritt 1 orientieren.
Ich denke, du bekommst es jetzt hin?!
Ich habe folgende Orthogonalbasis erhalten: (Rechenfehler nicht ausgeschlossen!) [mm] u_1=\bruch{1}{\wurzel{6}}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, u_2=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, u_3=\bruch{1}{\wurzel{\bruch{11}{2}}}*\vektor{0 \\ -\bruch{1}{2} \\ 1}
[/mm]
Für die Basis [mm] u_1,u_2 [/mm] und [mm] u_3 [/mm] gilt: (Spielerei, muss eigentlich nicht gezeigt werden!)
für alle [mm] u_i\in{B} [/mm] ist [mm] \parellel{u_i}\parallel=1
[/mm]
für alle [mm] u_i,u_j\in{B}, i\not=j: =0.
[/mm]
Stellvertretend sei gezeigt:
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2}}*(0,1,0)*\pmat{ 6 & 0 & -5 \\ 0 & 2 & 1 \\ -5 & 1 & 6 }\bruch{1}{\wurzel{\bruch{11}{2}}}*\vektor{0 \\ -\bruch{1}{2} \\ 1}=0
[/mm]
[mm] \parallel {u_3}\parallel=\wurzel{}=1\gdw=1
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{\bruch{11}{2}}}*(0, -\bruch{1}{2}, 1)*\pmat{ 6 & 0 & -5 \\ 0 & 2 & 1 \\ -5 & 1 & 6 }*\bruch{1}{\wurzel{\bruch{11}{2}}}*\vektor{0 \\ -\bruch{1}{2} \\ 1}=1
[/mm]
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 So 02.03.2008 | | Autor: | falko43 |
Danke an barsch!
Ich denke, dass ich es so hinbekommen werde! Viel Glück bei Deiner Klausur!!!
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