Orthonormalbasis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Di 05.07.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
besitzt eigentlich jeder Prähilbertraum auch eine Orthogonalbasis?
Im endlichdimensionalen Fall gibt das Gram-Schmidt-Verfahren einen konstruktiven Beweis dafür.
Was passiert aber, wenn der VR unendlichdimensional ist. Oder gar eine überabzählbare Basis hat?
Ich habe gelesen, dass dies gehen soll. Wie kann man das begründen?
Ich wollte es mit dem Zornschen Lemma beweisen, habe aber an einer Stelle ein PRoblem.
Ein Orthogonalsystem gibt es ja stets, welches man durch Gram-Schmidt gewinnen kann.
Somit kann man die nichtleere Menge aller Orthogonalsysteme betrachten. Diese ist mit der Teilmengenrelation eine Halbordnung.
Wie kann ich nun zeigen, dass jede Kette eine obere Schranke haben muss?
Wenn ich das gezeigt habe, dann gibt es ein maximales orthogonalsystem und somit eine orthogonalbasis, richtig?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mi 06.07.2011 | | Autor: | wauwau |
nicht jeder pre-Hilbertraum hat eine orthogonale Basis:
Gegenbeispiel: Standard [mm] l^2:
[/mm]
Seien
[mm] n_1=(1,0,0,....), n_2=(0,1,0,....) [/mm] usw und [mm] w_1=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...)
[/mm]
Sei H der Prehilbertraum der von [mm] (w_1,n_2,n_3,....) [/mm] aufgespannt wird, dann ist [mm] M=\{n_2,n_3,...\} [/mm] sicherlich eine maximale orthonormale Menge aber [mm] w_1 [/mm] ist nicht im Abschluss des Raumes, der von M aufgespannt wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Braten |
warum ist das eine maximale Orthonormale Menge? Ich finde das gar nicht so offensichtlich.
Ansonsten, siehe meine Miteilung weiter unten.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mi 06.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> warum ist das eine maximale Orthonormale Menge? Ich finde
> das gar nicht so offensichtlich.
Angenommen, es gibt ein $v [mm] \in \langle w_1, n_2, n_3, \dots \rangle$, [/mm] welches orthogonal zu [mm] $n_2, n_3, \dots$ [/mm] ist. Ist $v = [mm] (v_1, v_2, \dots)$, [/mm] so folgt aus [mm] $\langle [/mm] v, [mm] n_i \rangle [/mm] = 0$, dass [mm] $v_i [/mm] = 0$ ist. Also ist $v = [mm] (v_1, [/mm] 0, 0, 0, [mm] \dots)$. [/mm] Dies ist jedoch nur dann ein Element von [mm] $\langle w_1, n_2, n_3, \dots \rangle$, [/mm] wenn [mm] $v_1 [/mm] = 0$ ist: andernfalls waere $v - [mm] v_1 w_1 \in \langle n_2, n_2, \dots \rangle$, [/mm] was nur sein kann wenn $v - [mm] v_1 w_1$ [/mm] an fast allen Stellen 0 ist. Dies ist aber nur der Fall, falls [mm] $v_1 [/mm] = 0$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Do 07.07.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
ich verstehe. Aber kann es nicht sein, dass es eine ander Menge gibt, die auch Orthogonalbasis ist?
Man muss sie ja nicht im allgemeinen explizit angeben können.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Do 07.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ich verstehe. Aber kann es nicht sein, dass es eine ander
> Menge gibt, die auch Orthogonalbasis ist?
> Man muss sie ja nicht im allgemeinen explizit angeben
> können.
nun, es geht schon. Jeder Raum mit einer abzaehlbaren Basis hat eine ON-Basis, das folgt direkt mit der Konstruktion von Gram-Schmidt. Und dieser Raum hat eine abzaehlbare Basis.
Der erste orthogonale Vektor waer also [mm] $w_1$, [/mm] der zweite [mm] $n_2 [/mm] - [mm] \frac{\langle n_2, w_1 \rangle}{\langle w_1, w_1 \rangle} w_1$, [/mm] usw. Man kann das Ergebnis auch explizit hinschreiben, denke ich, dazu muss man nur etwas mehr rechnen 
Wir brauchen also einen Praehilbertraum mit ueberabzaehlbarer Dimension, um ein Gegenbeispiel zu finden. Und man muss die Aussage fuer alle maximalen ON-Systeme zeigen, nicht nur fuer ein konkretes.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mi 06.07.2011 | | Autor: | wauwau |
[mm] \IQ^2 [/mm] mit Multiplikation mit rationalen Zahlen als Skalarprodukt.
Wenn man als inneres Produkt dann z.B. das dreifach normale innere Produkt wählt, dann ist das zwar ein Prehilbertraum aber da gibts nichtmal einen Einheitsvektor geschweige denn eine orthonormale Basis!!!
Oder habe ich jetzt einen Denkfehlern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Braten |
Was meinst du mit "dreifach normale innere Produkt"?
ich verstehe dein 2.Gegenbeispiel noch nicht so ganz, weil ich nicht weis, was du mit obigem meinst.
Bei Wikipedia habe ich gerade gefunden:
http://en.wikipedia.org/wiki/Orthonormal_basis
Da heißt es, dass wegen dem Gram-Schmidt verfahren und der existenz einer Basis folgt, dass auch jeder Hilbertraum eine ONB besitzt.
(Übrigens fragte ich anfangs nach einer Orthogonalbasis. Aber wahrscheinlich funtioniert der Beweis, wovon ich noch ausgehe, dass es ihn gibt, analog)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Mi 06.07.2011 | | Autor: | wauwau |
dreifaches normales Skalarprodukt
<x,y><v,z> = 3(xv + yz)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mi 06.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> [mm]\IQ^2[/mm] mit Multiplikation mit rationalen Zahlen als
> Skalarprodukt.
> [...]
> Oder habe ich jetzt einen Denkfehlern
ja, hast du: ein Praehilbertraum ist ein Vektorraum ueber [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm]
LG Felix
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