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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass folgendes gilt: Ist Q: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] eine lineare Abbildung, die irgendeine Orthonormalbasis B={ [mm] \overrightarrow{b}_{1}.\overrightarrow{b}_{2} [/mm] } des [mm] \IR^{2} [/mm] auf eine Orthonormalbasis abbildet, dann ist Q orthogonal. |
Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?
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Hallo,
> Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?
Vielleicht kannst du erstmal sagen, was das zu Zeigende überhaupt bedeutet. Dann kann man sich ja mal Gedanken machen, wie man darauf kommt.
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na Q muss orthogonal sein, d.h das Skalarprodukt muss null sein.
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> na Q muss orthogonal sein, d.h das Skalarprodukt muss null
> sein.
Daraus kann ich immer noch nicht erkennen, was du nun zeigen willst. Welches Skalarprodukt soll hier warum Null sein? Nach Definition heißt eine Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] V$ zwischen endlichdimensionalen euklidischen Vektorräumen doch orthogonal, wenn [mm] $\langle [/mm] f(v),f(w) [mm] \rangle=\langle [/mm] v, w [mm] \rangle$ [/mm] für alle $v,w [mm] \in [/mm] V$ gilt.
D.h. nehmen wir also in deinem Fall die gegebene Orthonormalbasis [mm] $B=\{b_1,b_2\}$ [/mm] und sagen wir, dass sie unter $Q$ auf eine Orthonormalbasis [mm] $\{a_1,a_2\}$ [/mm] des [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] abgebildet wird und zwar bilden wir [mm] $b_1$ [/mm] auf [mm] $a_1$ [/mm] ab und analog für den jeweiligen zweiten Basisvektor.
Nimm dir zwei beliebige Elemente [mm] $v,w\in \mathbb{R}^2$ [/mm] und stelle sie als Linearkombination der Basis $B$ dar und berechne mal [mm] $\langle [/mm] v,w [mm] \rangle$ [/mm] und [mm] $\langle [/mm] Q(v), Q(w) [mm] \rangle$. [/mm] Was stellst du fest?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mi 18.01.2012 | | Autor: | anke23 |
Hallo,
ich sitze momentan an der gleichen Aufgabe und kann den Tip leider nicht umsetzen..
Wenn meine Basisvektoren
[mm]b_1 = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} [/mm]
und [mm]b_2 = \begin{pmatrix} b_3 \\ b_4 \end{pmatrix}[/mm] lauten
und sie unter [mm]Q[/mm] auf
[mm] a_1 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} [/mm] und
[mm] a_2 = \begin{pmatrix} a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}[/mm] abgebildet werden..
Also
[mm]\left\langle b_1, b_2 \right\rangle = b_1 * b_3 + b_2 * b_4[/mm]
und[mm] \left\langle Q (b_1), Q(b_2) \right\rangle = \left\langle a_1, a_2 \right\rangle = a_1 * a_3 + a_2 * a_4[/mm]
Damit ist doch gezeigt, dass sowohl [mm] b_1, b_2 [/mm] als auch [mm] a_1, a_2[/mm] Elemente von Orthonomalbasen sind.. aber wie beweise ich, dass [mm]Q[/mm] orthogonal ist?
Sorry, ich steh da gerade auf dem Schlauch..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 18.01.2012 | | Autor: | khelek |
Ich denke dein Beweis hängt damit zusammen, dass orthogonale Abbildungen Längen- und Winkelerhaltend sind. Mit anderen Worten bleibt das Skalarprodukt von den Abgebildeten Vektoren gleich. Das Skalarprodukt der Vektoren in einer ONB muss immer 0 sein. Wird diese ONB nun auf eine ONB abgebildet muss das Skalarprodukt 0 bleiben, da es sich ja wieder um eine ONB handelt. Dies ist bei Orthogonal Abbildungen der Fall da sich das Skalarprodukt nicht ändert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 15.01.2013 | | Autor: | Timmy5 |
Hi, ich hänge vor der gleichen Aufgabe und weiß einfach nicht wie ich dieses zeigen soll. Mir ist schon klar das orthogonale Abbildungen Längen- und Winkelerhaltend sind und das dies bestimmt auch der Beweis ist der gefordert ist, nur weiß ich nicht wie ich dieses deutlich zeigen könnte.
Wie müsste ich denn daran gehen , reicht es denn wirklich zu sagen <Q(b1),Q(b2)>=<a1,a2>=a1*a2+a3*a4? Wie müsste denn Q aussehen damit überhaupt das Ergebniss rauskommt?
Danke schonmal ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Di 15.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was bedeutet es denn fuer [mm] b_1 [/mm] und b_2dasssie orthogonalsind? du hast einfach das Sklarprodukt hingeschrieben, das gilt fuer alle vektoren, nicht nur fuer orthogonale. was gilt speziell fuer orthogonale Vektoren?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 15.01.2013 | | Autor: | Timmy5 |
na das halt <b1,b2>=0 ist..also wenn ich denn <Q(b1),Q(b2)> mache ist des dann ja auch 0!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Di 15.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
jaund jetzt benutzt du das um(Q(v)*Q(w) fuer beliebige Vektoren [mm] v=alpa_1*b1+\alpha_1*b_2
[/mm]
unnd [mm] w=\beta_1 *b1+\beta_2*b2
[/mm]
zu berechnenundzusehen,dasses v*w gibt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 15.01.2013 | | Autor: | Timmy5 |
Also ich gehe einfach hin und sage <b1,b2>=0 und denn bilde ich über eine linearkombination die allg. vektoren v,w. Die dann wären v=alpha*b1+alpha*b2 und w=ß*b3+ß*b4. Denn überprüfe ich die Eigenschaft <Q(v),Q(w)>=alpha*b1*ß*b3+alpha*b2*ß*b4 , was ja dann das gleiche ist wie <v,w> und dann kann ich halt sagen das ist = 0..Oder verstehe ich das falsch? Also bilde ich mit v,w einfach eine weiter allgemeine ONB auf die B abbildet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Mi 16.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist fast unlesbar,
1. sollst du <v,w> bilden,das steht bei dir falsch da.ich seh nur 2 Summanden aus einem PRODUKT VON 2 SUMMEN?
Dann bilde <Q(v),Q(w)> da v und w nicht unbedingt orthogonal sind ist das nicht 0, sondern du sollst zeigen, dass es <v,w>
ist .
was ist denn Q(v)?
wenn du Korrekturen willst schreibe lesbarer, lies deinen Text mit Vorschau, und ueberlege, ob du Lust hast das als unbezahlter Helfer zu lesen.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass folgendes gilt: Ist Q: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> eine lineare Abbildung, die irgendeine Orthonormalbasis B={
> [mm]\overrightarrow{b}_{1}.\overrightarrow{b}_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} des [mm]\IR^{2}[/mm]
> auf eine Orthonormalbasis abbildet, dann ist Q orthogonal.
> Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?
Sei B = { [mm] b_1,b_2 [/mm] } eine ONB des [mm] \IR^2 [/mm] und C={ [mm] c_1,c_2 \} [/mm] eine weitere.
Nach Vor. gilt:
(1) [mm] Q(b_1)=c_1 [/mm] und [mm] Q(b_2)=c_2
[/mm]
oder
(2) [mm] Q(b_1)=c_2 [/mm] und [mm] Q(b_2)=c_1.
[/mm]
Gilt (1), so hat Q bezüglich der Basen B und C die Abb.- Matrix [mm] A_1=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },
[/mm]
gilt (2), so hat Q bezüglich der Basen B und C die Abb.- Matrix [mm] A_2=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }.
[/mm]
Wie man sofort sieht, sind [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] orthogonale Matrizen.
FRED
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