Orthonormalbasis unitärer VR < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 So 21.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Es sei [mm] (V,\langle \cdot,\cdot \rangle) [/mm] ein unitärer Vektorraum und [mm] f:V\rightarrow [/mm] V linear.
Behauptung: [mm] \exists [/mm] Orthonormalbasis B, so dass die Matrizendarstellung [mm] A=M^{B}_{B}(f) [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist.
Kann man erreichen, dass A in Jordanscher Normalform ist? |
Hallo,
ich finde leider keinen Ansatz wie ich hier überhaupt vorgehen muss.
Dass es eine ONB gibt, ist natürlich klar.
Wenn [mm] v_1 [/mm] erster Basisvektor ist, muss ja [mm] f(v_1)=(*,0,...,0) [/mm] sein, damit ich zu einer Dreiecksmatrix komme. Und [mm] f(v_2)=(*,*,0,...,0) [/mm] usw.
Wie ich da allerdings hinkomme, weiß ich eben nicht.
Man wird wohl mit dem inneren Produkt argumentieren müssen, oder?
Zu der Frage habe ich entsprechend auch noch keine Antwort.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 21.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Es sei [mm](V,\langle \cdot,\cdot \rangle)[/mm] ein unitärer
> Vektorraum und [mm]f:V\rightarrow[/mm] V linear.
> Behauptung: [mm]\exists[/mm] Orthonormalbasis B, so dass die
> Matrizendarstellung [mm]A=M^{B}_{B}(f)[/mm] eine obere
> Dreiecksmatrix ist.
> Kann man erreichen, dass A in Jordanscher Normalform ist?
> Hallo,
>
> ich finde leider keinen Ansatz wie ich hier überhaupt
> vorgehen muss.
> Dass es eine ONB gibt, ist natürlich klar.
>
> Wenn [mm]v_1[/mm] erster Basisvektor ist, muss ja [mm]f(v_1)=(*,0,...,0)[/mm]
> sein, damit ich zu einer Dreiecksmatrix komme. Und
> [mm]f(v_2)=(*,*,0,...,0)[/mm] usw.
>
> Wie ich da allerdings hinkomme, weiß ich eben nicht.
>
> Man wird wohl mit dem inneren Produkt argumentieren müssen,
> oder?
>
> Zu der Frage habe ich entsprechend auch noch keine Antwort.
Das man die JNF bilden kann, ist doch äquivalent dazu, dass das charakteristische Polynom zerfällt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 Mo 22.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Das man die JNF bilden kann, ist doch äquivalent dazu, dass
> das charakteristische Polynom zerfällt.
Ich verstehe die Aufgabe so, dass man man die JNF mit einer ONB erreichen soll...
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Unk |
> > Das man die JNF bilden kann, ist doch äquivalent dazu, dass
> > das charakteristische Polynom zerfällt.
> Ich verstehe die Aufgabe so, dass man man die JNF mit einer
> ONB erreichen soll...
>
> Gruß, Robert
So ist es auch gemeint, denn A ist ja die Matrizendarstellung von f bzgl. der ONB B.
Ich bin leider mit der Lösung noch nicht weiter vorangekommen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
Ok, wenn's 'ne ONB sein soll, dann ist es was anderes.
Probier doch folgendes:
Mach' zuerst die JNF von f und wende auf die entstandenen Basen dann das Gram-Schmidt-Verfahren an.
Du musst ja dann zeigen, dass die darstellende Matrix immer noch eine obere Dreiecksmatrix ist.
(Ob's klappt weiss ich nicht. Ist bloß so 'ne Idee von mir.)
|
|
|
| |
|
> Es sei [mm](V,\langle \cdot,\cdot \rangle)[/mm] ein unitärer
> Vektorraum und [mm]f:V\rightarrow[/mm] V linear.
> Behauptung: [mm]\exists[/mm] Orthonormalbasis B, so dass die
> Matrizendarstellung [mm]A=M^{B}_{B}(f)[/mm] eine obere
> Dreiecksmatrix ist.
Hallo,
diesbezüglich wirst Du unter "Schurzerlegung" fündig.
> Kann man erreichen, dass A in Jordanscher Normalform ist?
Falls Du der Meinung bist, daß das nicht der Fall ist, ist das doch am einfachsten durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen.
Sei [mm] A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }, [/mm] und nun rechnest Du vor, daß Du keine unitäre Matrix U findest, so daß [mm] \overline{U}^{t}AU=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:05 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Unk |
> > Es sei [mm](V,\langle \cdot,\cdot \rangle)[/mm] ein unitärer
> > Vektorraum und [mm]f:V\rightarrow[/mm] V linear.
> > Behauptung: [mm]\exists[/mm] Orthonormalbasis B, so dass die
> > Matrizendarstellung [mm]A=M^{B}_{B}(f)[/mm] eine obere
> > Dreiecksmatrix ist.
>
> Hallo,
>
> diesbezüglich wirst Du unter "Schurzerlegung" fündig.
>
> > Kann man erreichen, dass A in Jordanscher Normalform ist?
>
> Falls Du der Meinung bist, daß das nicht der Fall ist, ist
> das doch am einfachsten durch ein Gegenbeispiel zu
> widerlegen.
>
> Sei [mm]A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 },[/mm] und nun rechnest Du vor,
> daß Du keine unitäre Matrix U findest, so daß
> [mm]\overline{U}^{t}AU=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
Aber meine Darstellungsmatrix A bzgl. der ONB B soll doch bereits eine obere Dreiecksmatrix sein und nicht nur ähnlich zu einer solchen oder?
Kann man das dann überhaupt alles so auf diese Aufgabe übertragen?
|
|
|
| |
|
> > Sei [mm]A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 },[/mm] und nun rechnest Du vor,
> > daß Du keine unitäre Matrix U findest, so daß
> > [mm]\overline{U}^{t}AU=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }.[/mm]
> >
> > Gruß v. Angela
> >
>
> Aber meine Darstellungsmatrix A bzgl. der ONB B soll doch
> bereits eine obere Dreiecksmatrix sein und nicht nur
> ähnlich zu einer solchen oder?
> Kann man das dann überhaupt alles so auf diese Aufgabe
> übertragen?
>
Hallo,
ich weiß überhaupt nicht, was Du meinst.
A ist doch eine obere Dreiecksmatrix, und ich schlage Dir vor, daß Du zeigst, daß es keine ONB gibt, mit welcher Du die durch A repräsentierte Abbildung auf JNF bringen kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Unk |
>
> > > Sei [mm]A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 },[/mm] und nun rechnest Du vor,
> > > daß Du keine unitäre Matrix U findest, so daß
> > > [mm]\overline{U}^{t}AU=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }.[/mm]
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> >
> > Aber meine Darstellungsmatrix A bzgl. der ONB B soll doch
> > bereits eine obere Dreiecksmatrix sein und nicht nur
> > ähnlich zu einer solchen oder?
> > Kann man das dann überhaupt alles so auf diese Aufgabe
> > übertragen?
> >
>
> Hallo,
>
> ich weiß überhaupt nicht, was Du meinst.
>
> A ist doch eine obere Dreiecksmatrix, und ich schlage Dir
> vor, daß Du zeigst, daß es keine ONB gibt, mit welcher Du
> die durch A repräsentierte Abbildung auf JNF bringen
> kannst.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Das bezog sich auf meinen ersten Aufgabenteil, die obere Dreiecksmatrix.
Ich dachte, ich soll eine Orthonormalbasis finden, so dass die Darstellungsmatrix von f (also A) bzgl. dieser Basis eine obere Dreiecksmatrix ist.
Wenn ich mir die Schur-Zerlegung angucke, dann sagt sie doch nur aus, dass meine Darstellungsmatrix A ähnlich zu einer Dreiecksmatrix ist, es also ein U gibt, sodass [mm] P=\overline{U}^tAU [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist, mein A aber doch nicht. Oder geht da bei mir jetzt einiges durcheinander?
|
|
|
| |
|
>>>>>> Behauptung: $ [mm] \exists [/mm] $ Orthonormalbasis B, so dass die Matrizendarstellung $ [mm] A=M^{B}_{B}(f) [/mm] $
>
> Das bezog sich auf meinen ersten Aufgabenteil, die obere
> Dreiecksmatrix.
> Ich dachte, ich soll eine Orthonormalbasis finden, so dass
> die Darstellungsmatrix von f (also A) bzgl. dieser Basis
> eine obere Dreiecksmatrix ist.
>
> Wenn ich mir die Schur-Zerlegung angucke, dann sagt sie
> doch nur aus, dass meine Darstellungsmatrix A ähnlich zu
> einer Dreiecksmatrix ist, es also ein U gibt, sodass
> [mm]P=\overline{U}^tAU[/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist, mein A
> aber doch nicht. Oder geht da bei mir jetzt einiges
> durcheinander?
>
Hallo,
ja, ich glaube, Du bist völlig durcheinander.
Du hast eine Abbildung f, und deren Darstellungsmatrix bzgl beliebig vieler verschiedener Basen kannst Du aufstellen.
Behauptet wird nun, daß Du solch eine ONBasis findest, daß die Darstellungsmatrix eine Dreiecksmatrix ist.
Jegliche andere Darstellungsmatrix ist natürlich ähnlich zu dieser Matrix.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Unk |
Ok. Um jetzt mal wieder Ordnung in meine Gedanken zu bringen:
Sei [mm] dimV=$n<\infty.$
[/mm]
Sei B Darstellungsmatrix von f bzgl. einer
Basis [mm] $u_{1},...,u_{n}$. [/mm] Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von Eigenvektor [mm] $u_{1}$ [/mm] .
Normiere $u,$ so gilt [mm] $\langle u,u\rangle=1.$ [/mm] Ergänze nun $u$ durch
Hinzunahme von [mm] $v_{2},...,v_{n}$ [/mm] zu einer Basis des Raums. Orthonormalisiere
sie.
Dann ist die Matrix [mm] $U=(u,v_{2},...,v_{n})$ [/mm] unitär, denn die Spalten
von U sind ONB von V (kann man so begründen oder? Vielleicht noch
eine bessere Begründung? Es muss ja gelten: [mm] $U^{-1}=\overline{U^{t}}$).
[/mm]
Es gilt nun [mm] $\langle u,v_{i}\rangle=0$ [/mm] für [mm] $2\le i\leq [/mm] n.$
Dann folg: [mm] $\overline{U^{t}}BU=\overline{U^{t}}(\lambda\cdot u,B\cdot v_{2},...,B\cdot v_{n})=?.$
[/mm]
Ist das bis hierhin soweit richtig?
Aber wie sieht jetzt genau meine Matrix [mm] $\overline{U^{t}}$ [/mm] aus? Ich
muss ja auf meine obere Dreiecksmatrix kommen.
Wenn ich diese dann einfach $A$ nenne, habe ich doch alles gezeigt
für den ersten Teil?
Wozu brauche ich denn dann überhaupt das innere Produkt?
|
|
|
| |
|
> Ok. Um jetzt mal wieder Ordnung in meine Gedanken zu
> bringen:
>
> Sei dimV=[mm]n<\infty.[/mm]
>
> Sei B Darstellungsmatrix von f bzgl. einer
> Basis [mm]u_{1},...,u_{n}[/mm]. Sei [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von
> Eigenvektor [mm]u_{1}[/mm] .
>
> Normiere [mm]u,[/mm] so gilt [mm]\langle u,u\rangle=1.[/mm] Ergänze nun [mm]u[/mm]
> durch
> Hinzunahme von [mm]v_{2},...,v_{n}[/mm] zu einer Basis des Raums.
> Orthonormalisiere
> sie.
>
Hallo,
wenn wir das ganze Tamtam mal etwas verkürzen, dann nimmst Du einen normierten Eigenvektor u als ersten Basisvektor, (wobei zu überlegen wäre, warum man einen findet,) und ergänzt ihn zu einer ONB von V.
> Dann ist die Matrix [mm]U=(u,v_{2},...,v_{n})[/mm] unitär, denn die
> Spalten
> von U sind ONB von V (kann man so begründen oder?
Ja.
Eine andere begründung brauchst Du nicht.
> Vielleicht noch
> eine bessere Begründung? Es muss ja gelten:
> [mm]U^{-1}=\overline{U^{t}}[/mm]).
>
> Es gilt nun [mm]\langle u,v_{i}\rangle=0[/mm] für [mm]2\le i\leq n.[/mm]
Ja, so hattest Du die Basis ja ausgewählt.
>
> Dann [mm] folg:\overline{U^{t}}BU=
[/mm]
[mm] \pmat{\lambda & \*\\ 0& B_1},
[/mm]
[mm] B_1 [/mm] ist eine (n-1)x(n-1)-Matrix.
> Ist das bis hierhin soweit richtig?
Ja.
>
> Aber wie sieht jetzt genau meine Matrix [mm]\overline{U^{t}}[/mm]
> aus? Ich
> muss ja auf meine obere Dreiecksmatrix kommen.
Wie die Matrix U aussiht, weißt Du doch: in den Spalten hat sie Deine Basisvektoren.
Was Du bisher erreicht hast: die erste Spalte der Darstellungsmatrix ist so, wie sie für eine Dreiecksmatrix sein muß.
Nun mußt Du weiternachen und Dir überlegen, wie Du die nächste Spalte überlistest.
Wie gesagt: unter Schurzerlegung wirst Du fündig.
> Wozu brauche ich denn dann überhaupt das innere Produkt?
Sonst kann man schlecht über Orthogonalität reden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Do 25.06.2009 | | Autor: | Unk |
Gut der Beweis ist fertig.
Auch wenn es vllt. langsam nervt, so muss ich aber nochmal an den 2ten Teil ran.
Ich rechne also vor, dass ich keine Matrix U finde, sodass [mm] \begin{pmatrix}1 & 2\\
0 & 1\end{pmatrix} [/mm] durch [mm] \overline{U^t}AU=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{pmatrix}(:=J).
[/mm]
Dazu habe ich mal folgendes getan:
Die Aussage ist äquivalent zu: AU=UJ.
setze ich [mm] U=\begin{pmatrix}a & b\\
c & d\end{pmatrix} [/mm] und rechne beide Seiten aus, so komme ich zu: c=0, a=2d.
Das hilft mir nun aber noch nicht recht weiter. Ich brauche ja auch noch eine Aussage über b, um dann folgern zu können, dass U nicht unitär ist.
Ich weiß ja noch, dass gilt: [mm] \overline{U^t}=U^{-1}, [/mm] aber das hilft mir doch auch nicht.
|
|
|
| |
|
> Ich rechne also vor, dass ich keine Matrix U finde, sodass
> [mm]\begin{pmatrix}1 & 2\\
0 & 1\end{pmatrix}[/mm] durch
> [mm]\overline{U^t}AU=\begin{pmatrix}1 & 1\\
0 & 1\end{pmatrix}(:=J).[/mm]
>
> Dazu habe ich mal folgendes getan:
> Die Aussage ist äquivalent zu: AU=UJ.
> setze ich [mm]U=\begin{pmatrix}a & b\\
c & d\end{pmatrix}[/mm] und
> rechne beide Seiten aus, so komme ich zu: c=0, a=2d.
> Das hilft mir nun aber noch nicht recht weiter. Ich
> brauche ja auch noch eine Aussage über b, um dann folgern
> zu können, dass U nicht unitär ist.
> Ich weiß ja noch, dass gilt: [mm]\overline{U^t}=U^{-1},[/mm] aber
> das hilft mir doch auch nicht.
>
Hallo,
wenn Du jetzt beachtest, daß die Spalten von U normiert und orthogonal sind, solltest Du am Ziel sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
