Orthonormalisierung komplex < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 Fr 11.05.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Ich möchte eine Orthonormalbasis von [mm] \IC^3 [/mm] bezüglich einer Sesquilinearform [mm] \Phi [/mm] bestimmen. Meine Frage:
Dazu nehme ich die Basis [mm] B=\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{i\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\i\\0},\pmat{0\\0\\1},\pmat{0\\0\\i}\} [/mm] und wende einfach das Orthonormalisierungsverfahern (Gram-Schmidt) nach Kochrezept auf alle 6 Vektoren an und erhalte dann meine Orthonormalbasis, oder gibt es da noch irgend etwas besonderes zu beachten?
Danke und lieben Gruß
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich möchte eine Orthonormalbasis von [mm]\IC^3[/mm] bezüglich
> einer Sesquilinearform [mm]\Phi[/mm] bestimmen. Meine Frage:
>
> Dazu nehme ich die Basis
> [mm]B=\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{i\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\i\\0},\pmat{0\\0\\1},\pmat{0\\0\\i}\}[/mm]
> und wende einfach das Orthonormalisierungsverfahern
> (Gram-Schmidt) nach Kochrezept auf alle 6 Vektoren an und
> erhalte dann meine Orthonormalbasis, oder gibt es da noch
> irgend etwas besonderes zu beachten?
Dein obiges B ist keine Basis des [mm] \IC^3 [/mm] !!
[mm] \IC^3 [/mm] als Vektorraum über [mm] \IC [/mm] hat die Dimension 3.
FRED
>
> Danke und lieben Gruß
> chesn
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 11.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei [mm] \Phi: \IC^3\times\IC^3\to\IC, (x,y)\to x^T*A*\overline{y} [/mm] definiert durch
[mm] A:=\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}
[/mm]
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von [mm] \IC^3 [/mm] bezüglich [mm] \Phi. [/mm] |
Hallo! Weiss leider nicht was ich falsch mache:
Wenn ich z.B. die Basis [mm] B=\{\pmat{i\\0\\0},\pmat{0\\i\\0},\pmat{0\\0\\i}\} [/mm] von [mm] \IC^3 [/mm] wähle und mit Gram-Schmidt orthonormalisieren will, pssiert das:
Erster Vektor der Orthonormalbasis ist dann [mm] v_1=\pmat{i\\0\\0}.
[/mm]
Zu dem berechne ich dann den orthogonalen Vektor [mm] v_2':
[/mm]
[mm] v_2'=\pmat{0\\i\\0}-\Phi(v_1,w_2)*\pmat{i\\0\\0} [/mm] und erhalte damit
[mm] v_2'=\pmat{1\\i\\0} [/mm] damit müsste gelten:
[mm] \Phi(v_1,v_2')=v_1*A*\overline{v_2'}=0
[/mm]
was bei mir aber nicht funktioniert, es ist nur
[mm] v_1*A*v_2'=0
[/mm]
ohne die komplexe Konjugation... was mache ich falsch??
Vielen Dank und liebe Grüße,
chesn
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Hallo chesn,
> Sei [mm]\Phi: \IC^3\times\IC^3\to\IC, (x,y)\to x^T*A*\overline{y}[/mm]
> definiert durch
>
> [mm]A:=\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von [mm]\IC^3[/mm] bezüglich
> [mm]\Phi.[/mm]
> Hallo! Weiss leider nicht was ich falsch mache:
>
> Wenn ich z.B. die Basis
> [mm]B=\{\pmat{i\\0\\0},\pmat{0\\i\\0},\pmat{0\\0\\i}\}[/mm] von
> [mm]\IC^3[/mm] wähle und mit Gram-Schmidt orthonormalisieren will,
> pssiert das:
>
> Erster Vektor der Orthonormalbasis ist dann
> [mm]v_1=\pmat{i\\0\\0}.[/mm]
> Zu dem berechne ich dann den orthogonalen Vektor [mm]v_2':[/mm]
>
> [mm]v_2'=\pmat{0\\i\\0}-\Phi(v_1,w_2)*\pmat{i\\0\\0}[/mm] und
> erhalte damit
>
> [mm]v_2'=\pmat{1\\i\\0}[/mm] damit müsste gelten:
>
> [mm]\Phi(v_1,v_2')=v_1*A*\overline{v_2'}=0[/mm]
>
> was bei mir aber nicht funktioniert, es ist nur
>
> [mm]v_1*A*v_2'=0[/mm]
>
> ohne die komplexe Konjugation... was mache ich falsch??
>
[mm]v_2'[/mm] muß doch lauten:
[mm]v_2'=\pmat{\blue{-}1\\i\\0}[/mm]
> Vielen Dank und liebe Grüße,
> chesn
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Sa 12.05.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke erstmal, mit $ [mm] v_2'=\pmat{\blue{-}1\\i\\0} [/mm] $ funktioniert das Ganze. Allerdings komme ich rechnerisch nicht auf dieses Ergebnis.
[mm] x^T [/mm] wird -nicht- komplex konjugiert, oder liegt da mein Fehler?
Ansonsten komme ich auf:
$ [mm] \Phi(v_1,w_2)=v_1^T*A*\overline{w_2}=(i,0,0)*\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}*\pmat{0\\-i\\0}=(i,-1,-1+i)*\pmat{0\\-i\\0}=i [/mm] $
und so auf [mm] v_2'=\pmat{0\\i\\0}-i*\pmat{i\\0\\0}=\pmat{0\\i\\0}-\pmat{-1\\0\\0}=\pmat{1\\i\\0}
[/mm]
Anders, wenn ich [mm] v_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] vertausche, dann komme ich auf dein Ergebnis:
[mm] \Phi(w_2,v_1)=(0,i,0)*\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}*\pmat{-i\\0\\0}=(1,2i,1)*\pmat{-i\\0\\0}=-i
[/mm]
und damit auf dein [mm] v_2'. [/mm] Also was mache ich falsch?
Edit: Habe [mm] v_3' [/mm] berechnet, indem ich da auch jedesmal nicht [mm] \Phi(v_i,w_3) [/mm] sondern [mm] \Phi(w_3,v_i) [/mm] berechnet habe, und alles geht auf.
Warum klappt das nur so? Gibt es da eine Regel die ich nicht beachtet habe?
Danke und lieben Gruß,
chesn
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Hallo chesn,
> Hallo! Danke erstmal, mit [mm]v_2'=\pmat{\blue{-}1\\i\\0}[/mm]
> funktioniert das Ganze. Allerdings komme ich rechnerisch
> nicht auf dieses Ergebnis.
>
> [mm]x^T[/mm] wird -nicht- komplex konjugiert, oder liegt da mein
> Fehler?
> Ansonsten komme ich auf:
>
> [mm]\Phi(v_1,w_2)=v_1^T*A*\overline{w_2}=(i,0,0)*\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}*\pmat{0\\-i\\0}=(i,-1,-1+i)*\pmat{0\\-i\\0}=i[/mm]
>
> und so auf
> [mm]v_2'=\pmat{0\\i\\0}-i*\pmat{i\\0\\0}=\pmat{0\\i\\0}-\pmat{-1\\0\\0}=\pmat{1\\i\\0}[/mm]
>
> Anders, wenn ich [mm]v_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] vertausche, dann komme ich auf
> dein Ergebnis:
>
> [mm]\Phi(w_2,v_1)=(0,i,0)*\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}*\pmat{-i\\0\\0}=(1,2i,1)*\pmat{-i\\0\\0}=-i[/mm]
>
> und damit auf dein [mm]v_2'.[/mm] Also was mache ich falsch?
>
> Edit: Habe [mm]v_3'[/mm] berechnet, indem ich da auch jedesmal nicht
> [mm]\Phi(v_i,w_3)[/mm] sondern [mm]\Phi(w_3,v_i)[/mm] berechnet habe, und
> alles geht auf.
>
> Warum klappt das nur so? Gibt es da eine Regel die ich
> nicht beachtet habe?
>
Nach dieser ![[]](/images/popup.gif) Definition ist [mm]\Phi[/mm] keine Sesquilinearform,
da [mm]\Phi[/mm] im ersten Argument linear und im zweiten Argument semilinear ist.
Das heisst Du musst darauf achten, daß bei der Skalarproduktbildung,
die Linearität im ersten Argument gewährleistet ist.
> Danke und lieben Gruß,
> chesn
>
Gruss
MathePower
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Es gilt doch nach dem ONB-Verfahren von Erhard Schmidt:
[mm] v_2'=-\Phi(v_2,w_1)w_1+v_2
[/mm]
Damit ergibt sich [mm] v_2'=\vektor{-1 \\ i \\ 0}
[/mm]
Warum hast du jetzt zur Berechnung von [mm] v_2' \Phi(v_1,w_2) [/mm] berechnet?
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So ich habe die Berechnung jetzt auch nochmal gemacht und erhalte:
[mm] v'_{1}=\vektor{i\\0\\0}
[/mm]
[mm] w_{1}=v'_{1}/ \wurzel{\vektor{i\\0\\0}^{T}\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}\ \vektor{i\\0\\0}}= \vektor{i\\0\\0}/ \wurzel{\vektor{i\\-1\\i-1}^{T}\vektor{i\\0\\0}}=\vektor{i\\0\\0}/ \wurzel{-1}
[/mm]
und dann geht es ja nicht weiter, also was mache ich falsch?
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Hallo roydebatzen,
> So ich habe die Berechnung jetzt auch nochmal gemacht und
> erhalte:
> [mm]v'_{1}=\vektor{i\\0\\0}[/mm]
> [mm]w_{1}=v'_{1}/ \wurzel{\vektor{i\\0\\0}^{T}\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}\ \vektor{i\\0\\0}}= \vektor{i\\0\\0}/ \wurzel{\vektor{i\\-1\\i-1}^{T}\vektor{i\\0\\0}}=\vektor{i\\0\\0}/ \wurzel{-1}[/mm]
>
> und dann geht es ja nicht weiter, also was mache ich
> falsch?
Das zweite Argument ist zu konjugieren:
[mm]w_{1}=v'_{1}/ \wurzel{\vektor{i\\0\\0}^{T}\pmat{1&i&1+i\\-i&2&-i\\1-i&i&4}\ \vektor{\blue{-}i\\0\\0}}[/mm]
Gruss
MathePower
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Schade das es immernoch keinen Danke-Button hier gibt...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:42 Sa 12.05.2012 | | Autor: | roydebatzen |
Hallo,
muss ich nicht erstmal prüfen, ob die Matrix unabhängig ist?
Oder ist das gegeben dadurch, das ich von dem C³ abbilde?
Thx Roy
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> Hallo,
>
> muss ich nicht erstmal prüfen, ob die Matrix unabhängig
> ist?
Hallo,
von welcher Matrix redest Du?
Was soll eine unabhängige Matrix sein?
Vielleicht sagst Du mal etwas genauer, worüber Du gerade sprichst.
> Oder ist das gegeben dadurch, das ich von dem C³
> abbilde?
???
LG Angela
>
> Thx Roy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 12.05.2012 | | Autor: | chesn |
Ich denke er will nachweisen, dass die Matrix A vollen Rang hat.
Also Zeilen-/Spaltenvektoren linear -unabhängig- sind.
Kann ich denn das alles jetzt einfach so stehen lassen? D.h. ich vertausche [mm] v_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] einfach und erhalte damit mein Ergebnis?
gruß
chesn
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Ich werd es jetzt auch einfach gekonnt ignorieren.
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