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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Im Funktionenraum ist das Skalarprodukt zweier Funktionen als Integral des Produktes beider Funktionen definiert:
Skalarprodukt$(f(x),g(x)) = <f|g> = [mm] \integral_{-\infty}^\infty f(x)^\*g(x) [/mm] dx$
Die Eiegnfunktionen der Schrödingergleichung sind orthonormale Funktionen, d.h. das Skalarprodukt einer Funktion mit sich selbst soll eins betragen und Skalarprodukte zweier verschiedener Eigenfunktionen muss null betragen. Zeigen Sie für die Eigenfunktion eines Quantentroges mit unendlichen Barrieren, der sich von $x=0$ bis $x= 2 [mm] \pi$ [/mm] erstreckt, dass die Eigenfunktionen
[mm] $\Psi_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{\pi}}*\sin(n*x)$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] sonst [mm] $\Psi_n [/mm] (x) =0$
orthonormiert sind.
Hinweis:
[mm] $\sin(a) \sin(b) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\cos(a-b)-\cos(a+b))$ [/mm] |
Hallo :)
na toll, jetzt habe ich die geile Halbzeit verpasst. Die Zweite guck ich jetzt und hoffe, es werden noch Tore geschossen.
Zurück zum Thema: Was setze ich denn für $g$ und $f$ ein? Ist [mm] $f(x)^\*$ [/mm] das komplex konjugierte von $f(x)$ oder was ist damit gemeint?
Ich habe eine Vorlesung verpasst und stehe besonders auf dem Schlauch. Dort wurden die Operatoren eingeführt.
Ich danke euch für jeden Tipp.
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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Hallo!
Sei froh, daß es bei dir nur Hausaufgaben sind. Mir geht das Gehupe auf den Geist.
Also, erstmal JA, [mm] f(x)^\ast [/mm] ist das komplex konjungierte zu f(x).
Du sollst das ganze nun auf die FUnktion [mm] \Phi_n(x) [/mm] anwenden, da die aber reell ist, ist
[mm] \Phi_n(x)=\Phi_n(x)^\ast
[/mm]
Dann sollst du zeigen, daß die Funktion normiert ist. Ein normierter Vektor hat die Länge 1, das läßt sich über das Skalarprodukt zeigen. Und genau das sollst du hier auch machen:
[mm] \int\Phi_n(x)\Phi_n(x)\,dx=1
[/mm]
und dann sollst du zeigen, daß zwei unterschiedliche Funktionen orthogonal sind, also
[mm] \int\Phi_n(x)\Phi_m(x)\,dx=0 [/mm] für [mm] $m\neq [/mm] n$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:30 Do 14.06.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Event_Horizon,
deine Antwort ist sehr sehr hilfreich. Ich habe jetzt super verstanden, was ich machen soll. Danke!
Also a) Normierung
[mm] $\integral_0^{2\pi} \Psi_n(x)^\* \Psi_n(x) [/mm] dx$
Da das [mm] $\Psi_n(x)$ [/mm] nur reell ist, gilt [mm] $\Psi_n(x)^\* [/mm] = [mm] \Psi_n(x)$. [/mm] Darauf folgt dann
[mm] $\integral_0^{2\pi} \Psi_n(x) \Psi_n(x) [/mm] dx = [mm] \integral_0^{2\pi} \bruch{1}{\sqrt{\pi}} \sin(n*x) [/mm] * [mm] \bruch{1}{\sqrt{\pi}} \sin(n*x) [/mm] dx$
Mit dem Hinweis folgt:
$= [mm] \integral_0^{2\pi} \bruch{1}{2\pi} \cos(0) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi} \cos(2n*x) [/mm] dx$
$= [mm] [\bruch{1}{2\pi}x-\bruch{1}{2\pi*2n} \sin(2n*x)]_0^{2 \pi} [/mm] $
$= [mm] 1-\bruch{1}{4\pi*n} \sin(2n*2\pi))-(\bruch{1}{2\pi}*0-\bruch{1}{2\pi*2n} \sin(0)) [/mm] = 1$
b) Orthogonalität
[mm] $\integral_0^{2\pi} \Psi_n(x)^\* \Psi_m(x) [/mm] dx$
Da das [mm] $\Psi_n(x)$ [/mm] nur reell ist, gilt [mm] $\Psi_n(x)^\* [/mm] = [mm] \Psi_n(x)$. [/mm] Darauf folgt dann:
[mm] $\integral_0^{2\pi} \Psi_n(x) \Psi_m(x) [/mm] dx = [mm] \integral_0^{2\pi} \bruch{1}{\sqrt{\pi}} \sin(n*x) [/mm] * [mm] \bruch{1}{\sqrt{\pi}} \sin(m*x) [/mm] dx$
Mit dem Hinweis folgt dann:
$= [mm] \integral_0^{2\pi} \bruch{1}{2\pi} \cos(x(n-m)) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi} \cos(x*(n+m)) [/mm] dx $
$= [mm] [\bruch{1}{2\pi*(n-m)} \sin(x(n-m))-\bruch{1}{2\pi*(n+m)} \sin(x*(n+m))]_0^{2 \pi} [/mm] = 0 - 0 = 0$
Da [mm] $\sin(n*2\pi) [/mm] = [mm] \sin(2\pi) [/mm] = 0 , n [mm] \in \IN$
[/mm]
Ist das so richtig? Kann ich $n [mm] \in \IN$ [/mm] einfach annehmen?
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Do 14.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Du hast einen wichtigen Fall übersehen. Du teilst durch n-m. Das darfst Du nur, wenn $n [mm] \neq [/mm] m$. Also untersuche diesen Fall extra. Damit erledigst Du dann auch n=m=0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Do 14.06.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Ist das nicht dann der 1. Fall für die Normierung? Also gehe ich nicht generell von $m [mm] \neq [/mm] m$ aus? Ich sollte es vielleicht hinschreiben ;)
Reicht das dann?
Daanke und liebe Grüße
Ana-Lena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Do 14.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ist das nicht dann der 1. Fall für die Normierung? Also
doch, den hast Du mit dem ersten Fall erledigt. Beim zweiten gehst Du von [mm] $n\neq [/mm] m$ aus und darfst deswegen durch $(n-m)$ teilen.
> gehe ich nicht generell von [mm]m \neq m[/mm] aus? Ich sollte es
> vielleicht hinschreiben ;)
Nein, wie soll das gehen? [mm] $7\neq [/mm] 7$ ist Unsinn.
>
> Reicht das dann?
Ja.
>
> Daanke und liebe Grüße
> Ana-Lena
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Do 14.06.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Danke, notinX!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Do 14.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Entschuldigung, da habe ich den oberen Teil übersehen.
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