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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Mo 17.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Orthonormiere
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} },\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{i \\ 0 \\ -\wurzel{2} }\in\IC^3
[/mm]
bezüglich des Standardskalarproduktes des [mm] \IC^3. [/mm] |
Hi,
das Standardskalarprodukt des [mm] \IC^n [/mm] lautet doch:
[mm] \summe_{i=1}^{n}x_i*\overline{y_i}; [/mm] speziell in diesem Fall [mm] \summe_{i=1}^{3}x_i*\overline{y_i}.
[/mm]
Und [mm] \overline{y_i} [/mm] bedeutet doch im Falle [mm] y_i=i\wurzel{2}, \overline{y_i}=-i\wurzel{2}, [/mm] oder? Zumindest habe ich das so verstanden.
Mein Problem ist jedoch folgendes:
Ich nehme [mm] v_1=\vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} } [/mm] und will diesen nach ![[]](/images/popup.gif) Gram-Schmidt normalisieren.
Dann erhalte ich:
[mm] u_1=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{(-1)^2+1^2+(i\wurzel{2})^2}}*\vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} } [/mm]
Aber, jetzt kommt im Nenner doch 0 heraus - und durch 0 darf man ja nicht teilen! Was mache ich falsch?
Muss ich im [mm] \IC^n [/mm] auch beim Normalsieren etwas anders machen? Wie muss ich vorgehen?
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mo 17.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Betrag von a+ib ist NICHT [mm] \wurzel{a^2+(ib)^2} [/mm] dann gäbs ja ne menge Vektoren mit Länge 0! sondern [mm] \wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
also [mm] \wurzel{z*\overline{z}}
[/mm]
Das sagt doch auch die Def, des Skalarprodukts!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mo 17.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die schnelle Antwort.
Das heißt, wenn ich [mm] v_1 [/mm] normalisieren will, dann lautet die Rechnung:
[mm] u_1=\bruch{v_1}{\parallel v_1 \parallel}=\bruch{1}{\wurzel{(-1)^2+1^2+(\wurzel{2})^2}}\cdot{}\vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} }=\bruch{1}{2}*\vektor{-1 \\ 1 \\ i\wurzel{2} } [/mm] ?
Naja, wie der Rest dann geht, weiß ich jetzt.
Danke.
MfG barsch
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Hallo barsch,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das stimmt, mache dir aber nochmal genau klar, was da unter der Wurzel steht:
[mm] $||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle}=\sqrt{\left(\sum\limits_{i=1}^3v_i\cdot{}\overline{v}_i\right)}$
[/mm]
Für reelle Zahlen $r$ ist [mm] $\overline{r}=r$, [/mm] für komplexe [mm] $\overline{a+bi}=a-bi$
[/mm]
Also [mm] $||v||=\sqrt{(-1)(-1)+1\cdot{}1+(\sqrt{2}i)\cdot{}(-\sqrt{2}i)}=\sqrt{4}=2$
[/mm]
LG
schachuzius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Mo 17.09.2007 | | Autor: | barsch |
Okay, vielen Dank.
Jetzt wird mir auch klar, wie es zustande kommt. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
MfG barsch
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