Ortskurve < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Do 05.08.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Hallo! Ich muss mal wieder nerven:
Aaaaalso: mir ist da doch glatt der Begriff Ortskurve eingefallen und hab mir doch gleich mal ne Funktionenschar ausgedaht:
$ f(x) = [mm] t^2x^4 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] $ (schön, ne? :)
So, wenn ich mich in der Kürze der Zeit nicht verrechnet hab, dann haben wir Extremstellen an:
$ x = 0 [mm] \vee [/mm] x = [mm] \pm \bruch{1}{t^2} [/mm] $
Wenn ich jetzt $ x = [mm] \bruch{1}{t^2} [/mm] $ in die Funktion einsetze, so habe ich:
$ [mm] f(\bruch{1}{t^2}) [/mm] = [mm] \bruch{1-2t}{t^6} [/mm] $
Die Koordinaten aller Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) werden also angegeben durch:
$ x = [mm] \bruch{1}{t^2} [/mm] $ und $ y = [mm] \bruch{1-2t}{t^6} [/mm] $
Jetzt weiß ich noch ganz vage, dass man mit diesen beiden Werten ganz einfach die Ortskurve ermitteln kann.
Ach, da fällt mir ne Idee ein:
Kann ich nicht einfach $ x = [mm] \bruch{1}{t^2} [/mm] $ nach $ t $ auflösen und das dann einfach in $ y = [mm] \bruch{1-2t}{t^6} [/mm] $ für $ t $ einsetzen???
Ich schreib's mal hin:
$ x = [mm] \bruch{1}{t^2} \gdw [/mm] t = [mm] \pm \bruch{1}{x} [/mm] $
So und das in $ y = [mm] \bruch{1-2t}{t^6} [/mm] $ eingesetzt ergibt dann:
$ y = [mm] x^2 \pm [/mm] 2x $
Ist das dann die berühmt berüchtigte Ortskurve???
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 05.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sandycgn,
> Aaaaalso: mir ist da doch glatt der Begriff Ortskurve
> eingefallen und hab mir doch gleich mal ne Funktionenschar
> ausgedaht:
>
> [mm]f(x) = t^2x^4 - 2x^2[/mm] (schön, ne? :)
>
> So, wenn ich mich in der Kürze der Zeit nicht verrechnet
> hab, dann haben wir Extremstellen an:
>
> [mm]x = 0 \vee x = \pm \bruch{1}{t^2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , siehe Clemens' Antwort weiter unten im Strang.
> Wenn ich jetzt [mm]x = \bruch{1}{t^2}[/mm] in die Funktion einsetze,
> so habe ich:
>
> [mm]f(\bruch{1}{t^2}) = \bruch{1-2t}{t^6}[/mm]
Kommt Käme hier nicht [mm]f(\bruch{1}{t^2}) = \bruch{1-2t^{\red{2}}}{t^6}[/mm] raus? Ist aber nicht so wichtig.
> Die Koordinaten aller Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt)
> werden also angegeben durch:
>
> [mm]x = \bruch{1}{t^2}[/mm] und [mm]y = \bruch{1-2t}{t^6}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich noch ganz vage, dass man mit diesen beiden
> Werten ganz einfach die Ortskurve ermitteln kann.
> Ach, da fällt mir ne Idee ein:
> Kann ich nicht einfach [mm]x = \bruch{1}{t^2}[/mm] nach [mm]t[/mm] auflösen
> und das dann einfach in [mm]y = \bruch{1-2t}{t^6}[/mm] für [mm]t[/mm]
> einsetzen???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , so mache ich es immer.
> Ich schreib's mal hin:
>
> [mm]x = \bruch{1}{t^2} \gdw t = \pm \bruch{1}{x}[/mm]
>
> So und das in [mm]y = \bruch{1-2t}{t^6}[/mm] eingesetzt ergibt
> dann:
>
> [mm]y = x^2 \pm 2x[/mm]
>
> Ist das dann die berühmt berüchtigte Ortskurve???
Mmh, da bin ich überfragt, ob man das auch noch Ortskurve nennt, da es keine Funktion (und wahrscheinlich noch nicht mal eine Kurve) ist. Man könnte aber zwei Funktionen daraus machen...
Übrigens hast du dieses Problem nicht, wenn du oben mit meinem y-Wert rechnest 
Die Vorgehensweise ist korrekt, damit müßten sich alle Ortskurven bestimmen lassen.
Übrigens kann eine Funktionenschar auch mehrere Ortskurven haben, z.B. eine für die Maxima, die Minima, die Wendepunkte etc.
Viele Grüße,
Marc
P.S.: Schön, dass du jetzt mit der Formelsprache klar kommst 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Do 05.08.2004 | | Autor: | Sandycgn |
Au, stimmt, da ist mir ein Fehler unterlaufen.
Also müsste dann die Ortskurve so ausschauen:
$ y = [mm] x^6 [/mm] - [mm] 2x^4 [/mm] $
Das ist dann aber eine Funktion....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Sandycgn und Marc!
Ich komme beim Rechnen auf andere und damit einfacherere Ergebnisse:
f(x) = [mm] t^{2}x^{4} [/mm] - [mm] 2x^{2}
[/mm]
f'(x) = [mm] 4t^{2}x^{3} [/mm] - 4x = [mm] 4x(t^{2}x^{2} [/mm] - 1)
f'(x) = 0
[mm] \Rightarrow x_{1}=0; x_{2}=- \bruch{1}{t}; x_{3}=\bruch{1}{t}
[/mm]
[mm] f''(x_{1}) [/mm] = -4 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt bei [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] f''(x_{2}) [/mm] = [mm] f''(x_{3}) [/mm] = 8 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt bei [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3}
[/mm]
"Ortskurve" aller Extrempunkte:
Man darf auf keinen Fall den Fehler begehen, die Wertebereichsbestimmgung für t zu vergessen :
t [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] t [mm] \not= [/mm] 0
y = [mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] f(x_{3}) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{t^{2}}
[/mm]
da t = [mm] \pm\bruch{1}{x}, [/mm] gilt:
y = [mm] -x^{2}
[/mm]
und jetzt ganz wichtig: x [mm] \not= [/mm] 0
Damit haben wir alle Tiefpunkte in einer "Kurve" erfasst (für t = 0 gibt es keinen Tiefpunkt).
Wenn wir jetzt noch den Hochpunkt (0|0) hinzunehmen wollen (für alle t), müssen wir die Wertebereichsbestimmung von x aufheben:
Ortskurve: y = [mm] -x^{2}
[/mm]
Gruß Clemens
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Clemens!
> Ich komme beim Rechnen auf andere und damit einfacherere
> Ergebnisse:
>
> f(x) = [mm]t^{2}x^{4}[/mm] - [mm]2x^{2}
[/mm]
> f'(x) = [mm]4t^{2}x^{3}[/mm] - 4x = [mm]4x(t^{2}x^{2}[/mm] - 1)
>
> f'(x) = 0
> [mm]\Rightarrow x_{1}=0; x_{2}=- \bruch{1}{t}; x_{3}=\bruch{1}{t}
[/mm]
Stimmt, da habe ich geschlafen.
> [mm]f''(x_{1})[/mm] = -4 [mm]\Rightarrow[/mm] Hochpunkt bei [mm]x_{1}
[/mm]
> [mm]f''(x_{2})[/mm] = [mm]f''(x_{3})[/mm] = 8 [mm]\Rightarrow[/mm] Tiefpunkt bei
> [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}
[/mm]
>
> "Ortskurve" aller Extrempunkte:
Jetzt kommt doch aber erst die Ortskurve aller Tiefpunkte, oder?
> Man darf auf keinen Fall den Fehler begehen, die
> Wertebereichsbestimmgung für t zu vergessen :
> t [mm]\in[/mm] R [mm]\wedge[/mm] t [mm]\not=[/mm] 0
>
> y = [mm]f(x_{2})[/mm] = [mm]f(x_{3})[/mm] = - [mm]\bruch{1}{t^{2}}
[/mm]
> da t = [mm]\pm\bruch{1}{x},[/mm] gilt:
> y = [mm]-x^{2}
[/mm]
> und jetzt ganz wichtig: x [mm]\not=[/mm] 0
> Damit haben wir alle Tiefpunkte in einer "Kurve" erfasst
> (für t = 0 gibt es keinen Tiefpunkt).
> Wenn wir jetzt noch den Hochpunkt (0|0) hinzunehmen wollen
> (für alle t), müssen wir die Wertebereichsbestimmung von x
> aufheben:
Mit Wertebereich meinst du aber Definitionsbereich, oder? (oben auch)
> Ortskurve: y = [mm]-x^{2}
[/mm]
Danke für diese exakte Lösung
Und, falls es jemanden interessiert, hier noch ein Plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo marc!
>Stimmt, da habe ich geschlafen.
Macht nix.
>Jetzt kommt doch aber erst die Ortskurve aller Tiefpunkte, oder?
Ja, und danach die der Extrempunkte.
>Mit Wertebereich meinst du aber Definitionsbereich, oder? (oben auch)
Der Ausdruck "Wertebereich" ist bei mir in der Schule für genau dieses Szenario öfters gefallen. Sicherlich hast du recht: Wenn man die Ortskurve als Funktion von x oder den y-Wert des Extrempunktes als Funktion von t auffasst (wie hier möglich), dann muss man hier vom Definitionsbereich dieser Funktion sprechen (und das hat nichts mit dem Wertebereich der Funktion zu tun). Aber wenn man t oder x isoliert betrachtet, kann man analog zur die Bezeichnung "Wertebereich einer Funktion" (hier y), die ja die Menge der Werte ist, die die Funktion (y) annimmt, doch die Menge der Werte, die die (unabhängige) Variable x oder t annimmt, als deren Wertebereich definieren, oder ist das alles absoluter Schwachsinn?
Liebe Grüße Clemens
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Clemens!
> >Mit Wertebereich meinst du aber Definitionsbereich, oder?
> (oben auch)
>
> Der Ausdruck "Wertebereich" ist bei mir in der Schule für
> genau dieses Szenario öfters gefallen. Sicherlich hast du
> recht: Wenn man die Ortskurve als Funktion von x oder den
> y-Wert des Extrempunktes als Funktion von t auffasst (wie
> hier möglich), dann muss man hier vom Definitionsbereich
> dieser Funktion sprechen (und das hat nichts mit dem
> Wertebereich der Funktion zu tun). Aber wenn man t oder x
> isoliert betrachtet, kann man analog zur die Bezeichnung
> "Wertebereich einer Funktion" (hier y), die ja die Menge
> der Werte ist, die die Funktion (y) annimmt, doch die
> Menge der Werte, die die (unabhängige) Variable x oder t
> annimmt, als deren Wertebereich definieren, oder ist das
> alles absoluter Schwachsinn?
Das ist sicher alles Definitions- und Ansichtssache.
Wenn Ihr das so benutzt habt, dann kann man nichts dagegen sagen.
Trotzdem --finde ich-- passt besser Definitionsbereich, denn eine Funktionenschar [mm] $f_t(x)$ [/mm] läßt sich doch auf ganz natürliche Weise als Funktion $F: [mm] \IR^2\to\IR$ [/mm] auffassen mit [mm] $F(t,x):=f_t(x)$, [/mm] so dass die Werte für t aus dem Definitionsbereich von F stammen.
Naja, das sind nur Kleinigkeiten, aber beim Lesen mußte ich dort erstmal innehalten und habe nach einem Term gesucht, auf den Wertebereich passen könnte.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
