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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo,
also habe hier ein ernsthaftes Problem vor mir liegen. Habe eine Aufgabe mit dem Thema Ortskurven als Hausaufgabe für Montag aufbekommen, nur leider hatte ich dieses Thema in der 11 nie, sodass ich absolut nichts damit anfangen kann. Bin dann hier auf das Forum gestoßen, aber mit den diversen Erklärungen kann ich auch nicht sonderlich viel anfangen :-/
Ich poste einfach mal die Aufgabe, vielleicht kann mir jemand einen Ansatz sagen wie ich die Aufgabe anzugehen habe. Wäre nett...
Ga sei die Menge aller Scheitelpunkte von nach unten geöffneten und verschobenen Normalparabeln fa(x)= [mm] -x^2+bx+c, [/mm] die die Normalparabel [mm] n(x)=x^2 [/mm] im Punkt Pa [mm] (a/a^2) [/mm] berühren. Berechne zuerst die Koeffizienten b und c in fa(x) und stelle dann die Funktionsgleichung von Ga auf!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dann lass uns mal anfangen:
[mm] $f(x)=-x^2+b\cdot [/mm] x+c$
[mm] $\gdw f'(x)=-2\cdot [/mm] x+b$
[mm] $n(x)=x^2$
[/mm]
[mm] $\gdw n'(x)=2\cdot [/mm] x$
Wir wissen, dass sich die Graphen im Punkt $a$ berühren sollen. Berühren tuen sie sich genau dann, wenn ihre Steigungen an dem Punkt gleich sind und ihr Funktionswert übereinstimmt.
Beginnen wir mit der Steigung:
$n'(a)=f'(a)$
[mm] $\gdw 2\cdot x=-2\cdot [/mm] x+b$
[mm] $\gdw b=4\cdot [/mm] a$
Nun die Funktionswerte:
$n(a)=f(a)$
[mm] $\gdw a^2=-a^2+b\cdot [/mm] a+c$
Einsetzen von [mm] $b=4\cdot [/mm] a$ ergibt:
[mm] $\gdw a^2=-a^2+4a^2+c$
[/mm]
[mm] $\gdw c=-2\cdot a^2$
[/mm]
Die Funktionsforschrift für [mm] $f_a(x)$ [/mm] muss also wie folgt lauten:
[mm] $f_a(x)=-x^2+4\cdot a\cdot x-2\cdot a^2$
[/mm]
Jetzt müssen wir die Ortskurve der Scheitelpunkte bestimmen. Dazu bestimmen wir diese über die Ableitung $f'_a(x)$:
[mm] $f'_a(x)=-2\cdot x+4\cdot [/mm] a$
[mm] $-2\cdot x+4\cdot [/mm] a=0$
[mm] $\gdw 2\cdot x=4\cdot [/mm] a$
[mm] $\gdw x=2\cdot [/mm] a$
Und nun setzen wir dies in die Funktionsgleichung ein:
[mm] $f_a(2\cdot a)=-4\cdot a^2+8\cdot a^2-2\cdot a^2=2a^2$
[/mm]
Wir haben also die beiden Funktionen:
[mm] $x(a)=2\cdot [/mm] a$
[mm] $y(a)=2\cdot a^2$
[/mm]
Wegen [mm] $x^2(a)=4\cdot a^2=2\cdot [/mm] y(a)$ gilt
[mm] $y(a)=\frac{x^2(a)}{2}=\frac{x^2}{2}$
[/mm]
Somit lautet die Ortskurve
[mm] $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2$
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!
Gruß,
Hanno
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Danke für die Antwort. Ist mir jetzt alles einigermaßen klar geworden. Mit zig Umwegen bin ich dann auch auf das Ergebnis der Funktionsgleichung der Parabel gekommen, aber die Ortskurve hätte ich ohne deine Hilfe nicht ausrechnen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Farmer!
Kein Ding, frag ruhig, wenn du weiterhin Probleme hast!
Gruß,
Hanno
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