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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Ortskurve bei e-Funktion
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Ortskurve bei e-Funktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:56 Do 06.01.2005
Autor: Teddy

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

gegeben ist dies:  f(x)=(x - p) * e^(1 - [mm] x^2) [/mm]

Frage: Wie lautet die dazugehörige Ortskurve?

ich habe bereits die nullstelllen: x= -e*p
                    die Extrema:    x=e
                    Grenzwert:     [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = 0        
ich habe auch die 1. und 2. Ableitung und das Integral
Gerechnet habe ich mit Maxima und Derive.
Mir fehlt nur noch die Ortskurve. (ich komm einfach nicht drauf)
Wäre echt toll, wenn hier jemand weiter weiß.
Grüße an alle.
Teddy
  
        
Bezug
Ortskurve bei e-Funktion: Welche Ortskurve ??
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Do 06.01.2005
Autor: Loddar

[morgaehn] Teddy,

auch Dir ein [willkommenmr] !!!

Auch wir freuen uns hier über eine nette Begrüßung ;-), vor allem wenn man noch keinen [kaffeetrinker] hatte ...


> gegeben ist dies:  f(x)=(x - p) * e^(1 - [mm]x^2)[/mm]

Die Funktion lautet doch: [mm] $f_p(x) [/mm] = (x-p) * [mm] e^{1-x^2}$, [/mm] oder ?
Jedenfalls gehe ich jetzt mal davon aus ...


> die nullstellen: x= -e*p   [notok]

> die Extrema:    x=e   [notok]

> Grenzwert: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = 0           [ok]

Was ist mit [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f_p(x)[/mm] ??


> ich habe auch die 1. und 2. Ableitung und das Integral

Vielleicht solltest Du hier mal die Ableitungen und (in groben Zügen) den Rechenweg angeben, damit wir das kontrollieren können ...


> Gerechnet habe ich mit Maxima und Derive.

Und zu Fuß [grins] ??


> Mir fehlt nur noch die Ortskurve. (ich komm einfach nicht drauf)
> Frage: Wie lautet die dazugehörige Ortskurve?

Gegenfrage: Wovon soll denn die Ortskurve ermittelt werden (z.B. Extrempunkt oder Wendepunkt)?

Wen Du die MBOrtskurve berechnen möchtest, brauchst du zunächst den entsprechenden x-Wert.
Dieser wird (aller Voraussicht nach) abhängig sein von unserem Parameter p.
Umstellen nach p, und diesen Wert p(x) in den Funktionswert $y = [mm] f_p(x)$ [/mm] einsetzen ...
Fertig!


Grüße
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ortskurve bei e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Do 06.01.2005
Autor: Teddy

Hallo Loddar !

> Die Funktion lautet doch: [mm]f_p(x) = (x-p) * e^{1-x^2}[/mm], oder
> ?
>  Jedenfalls gehe ich jetzt mal davon aus ...

Ja genau. Ich bin schon fleißig am trainieren der schreibweise auf dem Board. Sorry
>
> > die nullstellen: x= -e*p   [notok]
> > die Extrema:    x=e   [notok]

Das hab ich mir gedacht. Da hat wohl Derive das e nicht als Basis des natürlichen Logarithmus angesehen. Ich hab das nochmal nachgerechnet.
Nullstellen:
[mm]f_p(x) = (x-p) * e^{1-x^2}=0[/mm]   [mm] \Rightarrow [/mm] da [mm]e^{1-x^2} \not= 0 [/mm]  gibt es nur eine Nullstelle bei [mm]x-p=0[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] einzige Nullstelle bei [mm]x=p[/mm]

Ableitungen:
1. Ableitung: [mm]-e^{1-x^2}*(2*x^2-2*p*x-1)[/mm]
    Die Extrema: da [mm]-e^{1-x^2} \not= 0 [/mm] ist wieder nur der hintere Teil der Funktion interessant, also [mm](2*x^2-2*p*x-1)=0[/mm].
Hier die Lösungsformel angewendet bekommt man [mm]x=[p-\wurzel{p^2+2}]/2[/mm] und [mm]x=[\wurzel{p^2+2}+p]/2[/mm]

2. Ableitung: [mm]2*e^{1-x^2}*(2*x^3-2*p*x^2-3*x+p)[/mm]
Beide Ableitungen habe ich mit Derive gerechnet.

> > Grenzwert: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = 0          
> [ok]
>  Was ist mit [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f_p(x)[/mm] ??

Sorry. Das ist sicherlich der am häufigsten gemachte Fehler.
Natürlich meinte ich [mm]\limes_{x\rightarrow \pm\infty}f_p(x)=0[/mm]
>
> > Mir fehlt nur noch die Ortskurve. (ich komm einfach nicht
> drauf)
>  > Frage: Wie lautet die dazugehörige Ortskurve?

>  Gegenfrage: Wovon soll denn die Ortskurve ermittelt werden
> (z.B. Extrempunkt oder Wendepunkt)?

Am besten von beiden, also Extrem- und Wendepunkt

> Wenn Du die MBOrtskurve berechnen möchtest, brauchst du
> zunächst den entsprechenden x-Wert.
>  Dieser wird (aller Voraussicht nach) abhängig sein von
> unserem Parameter p.
>  Umstellen nach p, und diesen Wert p(x) in den
> Funktionswert [mm]y = f_p(x)[/mm] einsetzen ...
>  Fertig!

Also die 1. Ableitung nach p umgestellt lautet: [mm]p = (2*x^2 - 1)/(2*x)[/mm]
und das in [mm]f_p(x)[/mm] eingesetzt
[mm][x - (2*x^2 - 1)/(2*x)]*e^{1 - x^2}[/mm]
aber ich bin da immer noch misstrauisch. Das kann doch so nicht passen, oder?
Bezug
                        
Bezug
Ortskurve bei e-Funktion: Nullstellen + Ableitungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Do 06.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Teddy!

[mm]f_p(x) = (x-p) * e^{1-x^2}[/mm]

> Ja genau. Ich bin schon fleißig am trainieren der
> schreibweise auf dem Board. Sorry

[daumenhoch]


> Nullstellen:
> [mm]f_p(x) = (x-p) * e^{1-x^2}=0[/mm]   [mm]\Rightarrow[/mm] da [mm]e^{1-x^2} \not= 0[/mm]
> gibt es nur eine Nullstelle bei [mm]x-p=0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] einzige
> Nullstelle bei [mm]x=p[/mm]

[daumenhoch]


> Ableitungen:
> 1. Ableitung: [mm]-e^{1-x^2}*(2*x^2-2*p*x-1)[/mm]

[daumenhoch]



> Die Extrema: da [mm]-e^{1-x^2} \not= 0[/mm] ist wieder nur der
> hintere Teil der Funktion interessant, also
> [mm](2*x^2-2*p*x-1)=0[/mm].

[daumenhoch]


> Hier die Lösungsformel angewendet, bekommt man
> [mm]x=[p-\wurzel{p^2+2}]/2[/mm] und [mm]x=[\wurzel{p^2+2}+p]/2[/mm]

[daumenhoch]


> 2. Ableitung: [mm]2*e^{1-x^2}*(2*x^3-2*p*x^2-3*x+p)[/mm]

[daumenhoch]



[aufgemerkt] Hier fehlt mir noch der Nachweis der möglichen Extremstellen in der 2. Ableitung (hinreichendes Kriterium). Wir wollen ja schließlich wissen, ob es sich tatsächlich um Extremstellen handelt, und welcher Art sind sie (Maximum oder Minimum).
Du mußt also noch rechnen: [mm] $f_p''(x_{E1,2}) [/mm] = ...$
Den ersten Term [mm] $(e^{1-x^2})$ [/mm] kannst Du hier weglassen, da er ja immer positiv ist.


Was ist mit den Wendestellen [mm] $x_W$, [/mm] sprich: den Nullstellen von [mm] $f_p''(x)$ [/mm] ??


> Natürlich meinte ich [mm]\limes_{x\rightarrow \pm\infty}f_p(x)=0[/mm]

[daumenhoch]


Ich habe die Antwort mal gestückelt.
Ich verliere sonst hier den Überblick ... [lupe]

Bezug
                        
Bezug
Ortskurve bei e-Funktion: Ortskurve für einen Extrempkt.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Do 06.01.2005
Autor: Loddar

Weiter geht's ...


> Mir fehlt nur noch die Ortskurve. (ich komm einfach nicht drauf)
> Frage: Wie lautet die dazugehörige Ortskurve?
> Gegenfrage: Wovon soll denn die Ortskurve ermittelt werden
> (z.B. Extrempunkt oder Wendepunkt)?
>  Am besten von beiden, also Extrem- und Wendepunkt
>  

> Also die 1. Ableitung nach p umgestellt lautet: [mm]p = (2*x^2 - 1)/(2*x)[/mm]

[kopfkratz2] Hier hab ich mich wohl etwas unklar ausgedrückt.
Bei einem Extremwert gilt: Den Wert für [mm] $x_E$ [/mm] mußt du nach p umstellen ...

Aber schrittweise:
Nehmen wir mal an, eines der beiden oben ermittelten Werte sei ein Extremwert (ich habe das noch nicht nachgerechnet [peinlich]).

Beliebig gewählt: [mm] $x_E [/mm] = [mm] \bruch{p - \wurzel{p^2+2}}{2}$ [/mm]

Der zugehörige Funktionswert [mm] $y_E$ [/mm] lautet:
[mm] $y_E [/mm] = [mm] f(x_E) [/mm] = [mm] (x_E [/mm] - p) * [mm] e^{1-x_E^2}$ [/mm]
$= [mm] (\bruch{p - \wurzel{p^2+2}}{2} [/mm] - p) * [mm] e^{1-(\bruch{p - \wurzel{p^2+2}}{2})^2}$ [/mm]
$= [mm] \bruch{-p - \wurzel{p^2+2}}{2} [/mm] * [mm] e^{\bruch{p^2 + 1 - p*\wurzel{p^2+2}}{2}}$ [/mm]  [bonk]


Unser Extrempunkt lautet also:
E( [mm] $x_E$ [/mm] | [mm] $y_E$ [/mm] ) = E( [mm] $\bruch{p - \wurzel{p^2+2}}{2}$ [/mm] | [mm] $\bruch{-p - \wurzel{p^2+2}}{2} [/mm] * [mm] e^{\bruch{p^2 + 1 - p*\wurzel{p^2+2}}{2}}$ [/mm] )

Also umformen müssen wir den Ausdruck [mm] $x_E [/mm] = ...$ nach p!

[mm] $x_E [/mm] = [mm] \bruch{p - \wurzel{p^2+2}}{2}$ [/mm]

Die einzelnen Schritte erspar mir bitte ;-), aber ich erhalte:
$p = [mm] \bruch{2x^2-1}{2x} [/mm] = x - [mm] \bruch{1}{2x}$ [/mm]

Und diesen Wert jetzt einsetzen bei [mm] $y_E [/mm] = ...$

"Etwas" umformen und Du erhältst eine Ausdruck [mm] $y_E [/mm] = y(x)$ (ohne p).
Dies ist die Ortskurve für den Extrempunkt ...

Ich habe schließlich $y = [mm] -(2x+\bruch{1}{x})$ [/mm] raus.



Ich hoffe, ich habe mich nicht total verhauen (was ich hier überhaupt nicht ausschließen möchte!!) ...

Deshalb bleibt die Frage weiterhin "teilweise unbeantwortet".
Ich habe den Verdacht, ich habe irgendeine elegante Umformung o.ä. übersehen.


Loddar

Bezug
                                
Bezug
Ortskurve bei e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Do 06.01.2005
Autor: Teddy


> Also umformen müssen wir den Ausdruck [mm]x_E = ...[/mm] nach p!
>  
> [mm]x_E = \bruch{p - \wurzel{p^2+2}}{2}[/mm]
>  
> Die einzelnen Schritte erspar mir bitte ;-), aber ich
> erhalte:
>  [mm]p = \bruch{2x^2-1}{2x} = x - \bruch{1}{2x}[/mm]

Das habe ich auch

> Und diesen Wert jetzt einsetzen bei [mm]y_E = ...[/mm]
>  
> "Etwas" umformen und Du erhältst eine Ausdruck [mm]y_E = y(x)[/mm]
> (ohne p).
>  Dies ist die Ortskurve für den Extrempunkt ...
> [scheisskram]
>  
> Ich habe schließlich [mm]y = -(2x+\bruch{1}{x}) [/mm]raus.
>  

>
> Ich hoffe, ich habe mich nicht total verhauen (was ich hier
> überhaupt nicht ausschließen möchte!!) ...
>  
> Deshalb bleibt die Frage weiterhin "teilweise
> unbeantwortet".
>  Ich habe den Verdacht, ich habe irgendeine elegante
> Umformung o.ä. übersehen.
>  
>
> Loddar
>  

Also das mit den Ortskurven hab ich gerafft:
Für die Ortskurve der Extrempunkte einfach den x-Wert des Extrempunktes nach der Variable auflösen und dann in den y-Wert des Extrempunktes einsetzen. Das Ergebnis ist dann die Ortskurve der Extrempunkte.
Analog für die Wendepunkte.

vielen, vielen Dank. Das hat mir schon ein ganzes Stück weitergeholfen.
Bezug
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