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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Ortsvektor in Kugelkoordinaten
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Ortsvektor in Kugelkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Di 23.05.2017
Autor: Paivren

Hallo zusammen,

ich glaube, eine Widersprüchlichkeit in Bezug auf Kugelkoordinaten entdeckt zu haben.


Die Koordinaten eines Punkts im [mm] IR^{3} [/mm] sind ja gerade die Vorfaktoren vor den Basisvektoren. In kartesischen Koordinaten:
a=(x, y, z) = [mm] x*e_{x} [/mm] + [mm] y*e_{y} [/mm] + [mm] z*e_{z}. [/mm]
x,y,z nennt man die "Koordinaten".

Transformiere ich das in Kugelkoordinaten, so stellt man fest, dass man schreiben muss: [mm] a=r*e_{r}. [/mm] Die anderen Einheitsvektoren braucht man gar nicht. Dennoch werden [mm] \phi [/mm] und [mm] \theta [/mm] ja zur Beschreibung benötigt, weil [mm] e_{r} [/mm] von ihnen abhängt.

Aber man kann eben nicht schreiben a= [mm] (r,\phi,\theta) [/mm] = [mm] re_{r} [/mm] + [mm] \phi e_{\phi} [/mm] + [mm] \theta e_{\theta}. [/mm]

Offenbar handelt es sich bei Kugelkoordinaten [mm] (r,\phi,\theta) [/mm] nicht um Koordinaten im Sinne der linearen Algebra, sehe ich das richtig?

Viele Grüße

        
Bezug
Ortsvektor in Kugelkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Di 23.05.2017
Autor: leduart

Hallo
ich verstehe nicht, wie du auf [mm] a=r*e_r [/mm] kommst, das ist i.A. falsch.
du kannst mit Kugelkoordinaten rechnen mit [mm] x=rcos\phi sin\theta [/mm] usw
oder du hast [mm] a(r,\phi,theta) [/mm] also z. B. in der Ebene [mm] a=r*\phi, [/mm] eine Spirale, aber sicher nicht [mm] a=r*e_r [/mm] .
Also was genau meinst du? Längen in phi Richtung sid allerdings nicht [mm] \phi [/mm] oder [mm] d\pi [/mm] sondern [mm] r*.d\phi. [/mm]
Also was genau meinst du?
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Ortsvektor in Kugelkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Di 23.05.2017
Autor: Paivren

In wie weit falsch?

Ein gegebener Punkt (x, y, z) soll nun bezüglich der Basisvektoren der Kugelkoordinaten [mm] e_{r}, e_{\theta}, e_{\phi} [/mm] ausgedrückt werden, zu finden hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten

Dann gilt: (x, y, z) = (r [mm] cos\theta sin\phi, [/mm] r [mm] sin\theta sin\phi, [/mm] r [mm] cos\theta) [/mm] = r [mm] e_{r} [/mm]  

Bezug
                        
Bezug
Ortsvektor in Kugelkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mi 24.05.2017
Autor: leduart

Hallo
so hast du ja den Punkt eigentlich wieder im (x,y,z) System ausgedrückt, wenn du [mm] e_r [/mm] nimmst.
wirklich in Polarkoordinaten ist [mm] (r,\phi,\theta)=re_r+\phi e_(\phi)+\theta e_(\theta) [/mm]
aber das ist eben nicht (x,y,z)
so rechnet man allerdings selten aber z. bsp auf der Erde, allerdings mit festem r und nur denn Koordinaten (Länge, [mm] Breite)=(\phi,\theta) [/mm]
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Ortsvektor in Kugelkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Mi 24.05.2017
Autor: tobit09

Hallo leduart!


Ich kann deinen Gedanken leider nicht folgen.

>  wirklich in Polarkoordinaten ist [mm](r,\phi,\theta)=re_r+\phi e_(\phi)+\theta e_(\theta)[/mm]

Kann es sein, dass du mit [mm] $e_r$, $e_\phi$ [/mm] und [mm] $e_\theta$ [/mm] etwas anderes meinst als im von Paivren verlinkten Wikipedia-Artikel?
Wenn ja: Welche Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] meinst du damit?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Ortsvektor in Kugelkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mi 24.05.2017
Autor: tobit09

Hallo Paivren!


Bis zum Studium des von dir verlinkten Wikipedia-Artikels hatte ich noch nicht mit Kugelkoordinaten zu tun.
Aber trotzdem fühle ich mich in der Lage, deine Fragen zu beantworten:


> Die Koordinaten eines Punkts im [mm]IR^{3}[/mm] sind ja gerade die
> Vorfaktoren vor den Basisvektoren. In kartesischen
> Koordinaten:
>  a=(x, y, z) = [mm]x*e_{x}[/mm] + [mm]y*e_{y}[/mm] + [mm]z*e_{z}.[/mm]
>  x,y,z nennt man die "Koordinaten".

Ja.
Beachte, dass in  [mm] $\green{x}*e_{\blue{x}} [/mm] + [mm] \green{y}*e_{\blue{y}} [/mm] + [mm] \green{z}*e_{\blue{z}}$ [/mm] verwirrenderweise die grün markierten Buchstaben eine andere Bedeutung haben als die blauen: Die grünen stehen für die entsprechenden Werte [mm] $x,y,z\in\IR$, [/mm] während [mm] $e_x,e_y,e_z$ [/mm] die drei Vektoren der Standardbasis des [mm] $\IR^3$ [/mm] bezeichnen (die nichts mit den Zahlen [mm] $x,y,z\in\IR$ [/mm] zu tun haben).


> Transformiere ich das in Kugelkoordinaten, so stellt man
> fest, dass man schreiben muss: [mm]a=r*e_{r}.[/mm]

Ja.
Ich schreibe wieder in Farben: [mm] $a=\green{r}*e_{\blue{r}}$. [/mm]
Das grüne r steht hier für eine konkrete Zahl (nämlich die Länge von a), während [mm] $e_r$ [/mm] einen von $a$ (und nicht nur von [mm] $\green{r}$) [/mm] abhängigen Vektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] bezeichnet.


> Die anderen
> Einheitsvektoren braucht man gar nicht. Dennoch werden [mm]\phi[/mm]
> und [mm]\theta[/mm] ja zur Beschreibung benötigt, weil [mm]e_{r}[/mm] von
> ihnen abhängt.

Genau.


> Aber man kann eben nicht schreiben a= [mm](r,\phi,\theta)[/mm] =
> [mm]re_{r}[/mm] + [mm]\phi e_{\phi}[/mm] + [mm]\theta e_{\theta}.[/mm]

Das gilt in der Tat nicht.


> Offenbar handelt es sich bei Kugelkoordinaten
> [mm](r,\phi,\theta)[/mm] nicht um Koordinaten im Sinne der linearen
> Algebra, sehe ich das richtig?

Ja.
Es gibt keine Basis [mm] $(e_1,e_2,e_3)$ [/mm] des [mm] $\IR^3$ [/mm] mit [mm] $a=r_ae_1+\phi_ae_2+\theta_ae_3$ [/mm] für alle [mm] $a\in\IR^3$ [/mm] (dabei seien [mm] $(r_a,\phi_a,\theta_a)$ [/mm] jeweils die Kugelkoordinaten von $a$).

Allerdings bilden zu festem (!) [mm] $a\in\IR^3$ [/mm] mit Kugelkoordinaten [mm] $(r,\phi,\theta)$ [/mm] die Vektoren [mm] $(e_{\blue{r}},e_{\blue{\phi}},e_{\blue{\theta}})$ [/mm] laut Wikipedia unter gewissen Voraussetzungen eine Basis des [mm] $\IR^3$. [/mm]
Die Darstellung von Vektoren [mm] $b\in\IR^3$ [/mm] bezüglich dieser Basis hat jedoch offenbar erst einmal nichts direkt mit den Kugelkoordinaten von $b$ zu tun.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Ortsvektor in Kugelkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:54 Mi 31.05.2017
Autor: Paivren

Hallo Tobit,


vielen Dank für deine Schilderungen.
Im Großen und Ganzen hast du damit bestätigt, was ich mir gedacht habe.

Im zweiten Semester (Physik) fängt man an, stumpf mit diesen Kugelkoordinaten rumzurechnen. Erst später, beim Rückblick, wenn man routinierter mit Begriffen wie zB "Koordinaten" oder "Basis" umgehen kann und sich die Kugelkoordinaten dann nochmal ansieht, zB. um sie jemand anderem beizubringen, erkennt man, dass diese Verwendung aus mathematischer / theoretischer Sicht nicht äquivalent ist zur Verwendung von "echten" Koordinaten, zB. den kartesischen.

Viele Grüße

Bezug
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