Oszillator - kritische Dämpf. < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 So 24.03.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo ich sitze gerade an Differentialgleichungen. Die für den Oszillator lautet:
[mm] $\frac{d^2x}{dt^2} [/mm] + [mm] \gamma \frac{dx}{dt}+\omega_0x=0$
[/mm]
Wenn nun die Diskriminante:
[mm] $\frac{\gamma^2}{4}-\omega_0^2=0$
[/mm]
die Lösung des charakteristischen Polynoms ist dann ja [mm] $\lambda=-\frac{\gamma}{2}$
[/mm]
Durch die festgelegten anfangsbedingungen, dass [mm] $x(0)=x_0$ [/mm] ist und [mm] $\frac{dx}{dt}=0$ [/mm] bei $t=0$ kam man nun auf die Lösung:
[mm] $x(t)=x_0(1+ \frac{\gamma}{2}t) e^{-\gamma t/2}$
[/mm]
Ich verstehe eigentlich alles erst einmal bis dann die Lösung auftaucht. Wie kam man darauf? Ich hoffe jemand kann mir das ein wenig näher erklären. Weil nur durch die Angabe der Lösung komm ich darauf leider nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 So 24.03.2013 | | Autor: | keka |
Hallo,
du hast als Lösung der charakteristischen Gleichung einen Eigenwert mit Vielfachheit 2.
[mm] $\lambda_{1,2} [/mm] = [mm] -\gamma/2$
[/mm]
Damit die Lösung ein Fundamentalsystem bildet, musst du bei einer Vielfachheit folgendermaßen ansetzen:
$x(t) = [mm] c_1e^{-\gamma/2t} [/mm] + [mm] c_2te^{-\gamma/2t}$
[/mm]
Jetzt nur noch mit den ABs die Koeffizienten bestimmen,z.B. über LGS.
Hinweis: Bei deiner Aufgabenstellung ist wohl ein Schreibfehler, [mm] w_0^2 [/mm] statt [mm] w_0?
[/mm]
Gruß,
Keka
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 24.03.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo,
>
> du hast als Lösung der charakteristischen Gleichung einen
> Eigenwert mit Vielfachheit 2.
> [mm]\lambda_{1,2} = -\gamma/2[/mm]
>
> Damit die Lösung ein Fundamentalsystem bildet, musst du
> bei einer Vielfachheit folgendermaßen ansetzen:
>
> [mm]x(t) = c_1e^{-\gamma/2t} + c_2te^{-\gamma/2t}[/mm]
>
> Jetzt nur noch mit den ABs die Koeffizienten bestimmen,z.B.
> über LGS.
>
> Hinweis: Bei deiner Aufgabenstellung ist wohl ein
> Schreibfehler, [mm]w_0^2[/mm] statt [mm]w_0?[/mm]
>
> Gruß,
> Keka
Ah ja danke für den Hinweis. In der Differentialgleichung hatte ich mich geirrt. Dort stand [mm] $\omega_0^2$ [/mm] statt [mm] $\omega_0$
[/mm]
Wie genau bekomme ich denn die Koeffizienten heraus?
[mm] $x(0)=c_1+c_2=0$
[/mm]
[mm] $x'(0)=c_1\lambda_1+c_2\lambda_2=0$
[/mm]
Daraus werde ich leider nicht schlau, denn [mm] $c_1$ [/mm] müsste dann ja [mm] $-c_2$ [/mm] sein. Aber dann komme ich nicht auf die Lösung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 24.03.2013 | | Autor: | keka |
Weißt du wie man auf die Lösung von x(t) kommt? Ansatz: $x(t) = [mm] ce^{\lambda t}$. [/mm] Einsetzen in DGL und lambdas bestimmen. Das hast du ja gemacht.
Zu deiner Frage. Die Gleichungen stimmen noch nicht.
Du hast $x(0) = [mm] x_0$, $\dot{x}(t)\mid_{t=0} [/mm] = 0 $
Also muss es heißen
[mm] $x_0 [/mm] = [mm] c_1$
[/mm]
$0 = [mm] -\gamma/c_1+c_2$
[/mm]
=>
[mm] c_1 [/mm] = [mm] x_0
[/mm]
[mm] c_2 [/mm] = [mm] x_0\gamma/2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 24.03.2013 | | Autor: | ralfr |
Danke nochmal. Aber ich dachte der Ansatz ist die Superposition.
Also [mm] $x(t)=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t}$
[/mm]
Dann ist doch [mm] $x(0)=x_0=c_1+c_2$. [/mm] Wieso fehlt bei dir [mm] $c_2$?
[/mm]
und genauso bei $x'(0)$?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 So 24.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch nur ein [mm] \lambda!, [/mm] daz wurde dir die Lösung schon gesagt, bei c2 steht c2*t*... also bei t=0 ist das 0
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 24.03.2013 | | Autor: | keka |
> Danke nochmal. Aber ich dachte der Ansatz ist die
> Superposition.
> Also [mm]x(t)=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t}[/mm]
> Dann ist
> doch [mm]x(0)=x_0=c_1+c_2[/mm]. Wieso fehlt bei dir [mm]c_2[/mm]?
> und genauso bei [mm]x'(0)[/mm]?
Damit die Lösung ein Fundamentalsystem bildet, musst du bei einer Vielfachheit folgendermaßen ansetzen:
$x(t) = [mm] c_1e^{-\gamma/2t} [/mm] + [mm] c_2te^{-\gamma/2t}$ [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 24.03.2013 | | Autor: | ralfr |
Achso ok dankeschön, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht :)
Ist es noch irgenwie möglich zu erklären, wie man ausgerechnet auf solch eine Gleichung kommt? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 24.03.2013 | | Autor: | keka |
"Weißt du wie man auf die Lösung von x(t) kommt? Ansatz: $x(t) = [mm] ce^{\lambda t}$. [/mm] Einsetzen in DGL und lambdas bestimmen."
Dann allgemeine Lösung aus Fundamentalbasen [mm] $c_1e^{\lambda t} [/mm] + [mm] c_2te^{\lambda t}$ [/mm] bilden. Ohne das t wären beide Fundamentalbasen linear abhängig. [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] über Anfangsbedingungen bestimmen und wieder in die allg. Lösung einsetzen.
Siehe z.B. Papula Band 2 11. Auflage S. 489 für genaueres. Oder in deinem Mathe-Skript? :)
Gruß Keka
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