PBZ meromorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | folgende meromorphe Funktion soll betrachtet werden:
m(z)= [mm] \bruch{1}{sin(z)}-\bruch{2}{sin(2z)}
[/mm]
Nach dem Satz der Partialbruchzerlegung soll sie sich schreiben lassen als:
m(z)=h(z)+ [mm] \sum\limits_{l=\mathbb Z } (f_l(z) -g_l(z))
[/mm]
Die Aufgabenstellungen lauten nun:
1.Welche Polstellen hat m?
2.Bestimme die Hauptteile von [mm] f_l
[/mm]
3.Bestimme die Taylorpolynome [mm] g_l, [/mm] sodass [mm] \sum\limits_{l=\mathbb Z } (f_l(z) -g_l(z))kompakt [/mm] konvergiert.
und noch ein paar andere Teilaufgaben. |
Ich scheitere bereits an der zweiten, weshalb ich eure Hilfe benötige.
Ich habe folgendes versucht:
Die Funktion m(z) habe ich mithilfe von sin(2z)=2sin(z)cos(z) umgeschrieben zu:
[mm] \bruch{1}{sin(z)}\left( 1- \bruch{1}{cos(z)}\right) [/mm]
Dann habe ich mir überlegt, dass der Sinus die Nullstellen bei [mm] z=\pi [/mm] *k, und der Cosinus seine bei [mm] z=\bruch{\pi}{2} [/mm] *k hat.
Ab hier fehlt mir der nächste Schritt!
Meine Idee war nun, den Sinus um [mm] z=\bruch{\pi}{2} [/mm] *k und den Cosinus um [mm] z=\pi [/mm] *k zu taylorn um so an meine Hauptteile zu kommen. Meine Motivation war also folgende:
[mm] m(z)=\bruch{1}{sin(z)} *f_1
[/mm]
und
[mm] m(z)=\left( 1- \bruch{1}{cos(z)}\right) [/mm] * [mm] f_2
[/mm]
Leider kommt dabei nichts brauchbares raus, weshalb ich davon ausgehe, dass ich was falsch mache.
Habt ihr einen Hinweis, wie ich vorgehen muss?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=496035
Falls also dort jemand schneller sein sollte, so danke ich dennoch für die Mühen!
Grüße
Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 So 01.07.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Thomas!
> folgende meromorphe Funktion soll betrachtet werden:
> [mm]m(z)= \bruch{1}{sin(z)}-\bruch{2}{sin(2z)}[/mm]
>
> Nach dem Satz der Partialbruchzerlegung soll sie sich
> schreiben lassen als:
> [mm]m(z)=h(z)+ \sum\limits_{l=\mathbb Z } (f_l(z) -g_l(z))[/mm]
>
> Die Aufgabenstellungen lauten nun:
> 1.Welche Polstellen hat m?
> 2.Bestimme die Hauptteile von [mm]f_l[/mm]
> 3.Bestimme die Taylorpolynome [mm]g_l,[/mm] sodass [mm]\sum\limits_{l=\mathbb Z } (f_l(z) -g_l(z))[/mm] kompakt
> konvergiert.
> und noch ein paar andere Teilaufgaben.
> Ich scheitere bereits an der zweiten, weshalb ich eure
> Hilfe benötige.
>
>
>
> Ich habe folgendes versucht:
>
> Die Funktion m(z) habe ich mithilfe von
> sin(2z)=2sin(z)cos(z) umgeschrieben zu:
> [mm]\bruch{1}{sin(z)}\left( 1- \bruch{1}{cos(z)}\right)[/mm]
>
> Dann habe ich mir überlegt, dass der Sinus die Nullstellen
> bei [mm]z=\pi *k[/mm], und der Cosinus seine bei [mm]z=\bruch{\pi}{2} *k [/mm]
> hat.
Fast: die Nullstellen des Cosinus sind bei [mm]z=\bruch{\pi}{2} *(2k+1) [/mm].
Aber: der Faktor [mm] $\left( 1- \bruch{1}{\cos(z)}\right)$ [/mm] hat Nullstellen für [mm] $z=2k\pi$, [/mm] und daher hast du bei allen gradzahligen Vielfachen von [mm] $\pi$ [/mm] eine hebbare Singularität.
Bedenke, dass gilt
[mm] m(z) = f(z) -2 f(2z) [/mm] , wobei $f(z) = [mm] \bruch{1}{\sin z} [/mm] $.
es ist daher viel einfacher zunächst die PBZ von $f(z) = [mm] \bruch{1}{\sin z} [/mm] $ zu bestimmen und daraus die von $f(2z)$ und $m(z)$.
Also: bestimme zunächst die PBZ von [mm] $\bruch{1}{\sin z} [/mm] $ !
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
