PDGL Variablentransformation < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei das Anfangswertproblem (Cauchyproblem)
[mm] -x*u_x [/mm] + [mm] y*u_y [/mm] = x*u² mit u(x,1)=e^(-x)
Man bestimme
(i) die charakteristischen Kurven und mittels Koordinatentransformation (x,y)--> (w,z) die allgemeine Lösung u(x,y) der partiellen Differentialgleichung.
(ii) die spezielle Lösung des Cauchyproblems. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dazu gab es ein "Lösungsblatt" mit folgendem Hinweisen:
(i) Charakteristische Kurven: C=xy --> Variablentransformation: w(x,y)=xy ; z(x,y)=y mit u(x(w,z),y(w,z))=v(w,z) bzw. u(x,y)=v(w(x,y),z(x,y):
--> [mm] z²*v_z [/mm] = w*v²
--> v(w,z)=z/(w+z*Phi(w)) --> u(x,y)=y/(xy+y*Phi(xy))=1/(x+Phi(xy))
(ii) [mm] Phi(x)=(e^x) [/mm] - x --> [mm] u_s(x,y)=1/(x-xy+e^{xy})
[/mm]
Kann mir jemand erklären, wie man aus der Aufgabenstellung Rückschlüsse ziehen kann wie 1. die charakteristische Kurve ist und 2. wie die Koordinatentransformation/ Variablentransformation zu machen ist?
Danke im Vorraus für alle Feedbacks...
|
|
| |
|
Hallo stoffi1388,
> Gegeben sei das Anfangswertproblem (Cauchyproblem)
> [mm]-x*u_x[/mm] + [mm]y*u_y[/mm] = x*u² mit u(x,1)=e^(-x)
> Man bestimme
> (i) die charakteristischen Kurven und mittels
> Koordinatentransformation (x,y)--> (w,z) die allgemeine
> Lösung u(x,y) der partiellen Differentialgleichung.
> (ii) die spezielle Lösung des Cauchyproblems.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Dazu gab es ein "Lösungsblatt" mit folgendem Hinweisen:
> (i) Charakteristische Kurven: C=xy -->
> Variablentransformation: w(x,y)=xy ; z(x,y)=y mit
> u(x(w,z),y(w,z))=v(w,z) bzw. u(x,y)=v(w(x,y),z(x,y):
> --> [mm]z²*v_z[/mm] = w*v²
> --> v(w,z)=z/(w+z*Phi(w)) -->
> u(x,y)=y/(xy+y*Phi(xy))=1/(x+Phi(xy))
> (ii) [mm]Phi(x)=(e^x)[/mm] - x --> [mm]u_s(x,y)=1/(x-xy+e^{xy})[/mm]
>
> Kann mir jemand erklären, wie man aus der Aufgabenstellung
> Rückschlüsse ziehen kann wie 1. die charakteristische Kurve
> ist und 2. wie die Koordinatentransformation/
> Variablentransformation zu machen ist?
Im Fall der charakteristischen Kurven betrachtet man
[mm]u=u\left( \ x\left(t\right), \ y\leftt\right) \ \right)[/mm]
Differenziert nach t ergibt das:
[mm]\bruch{du}{dt}=\bruch{\partial u}{\partial x}*\bruch{dx}{dt}+\bruch{\partial u}{\partial y}*\bruch{dy}{dt}[/mm]
Verglichen mit der gebenen partiellen DGL liefert das:
[mm]\bruch{dx}{dt}=-x[/mm]
[mm]\bruch{dy}{dt}=y[/mm]
Woraus sich dann die charakteristischwn Kurven ergeben.
Die Variablentransformation ist dann ählich zu machen.
[mm]u\left(x,y\right)=v\left( \ w\left(x,y\right), \ z\left(x,y\right) \ \ \right)[/mm]
Partielle Differentiation nach x und y ergeben:
[mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial w}*\bruch{\partial w}{\partial x}+\bruch{\partial v}{\partial z}*\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm]
[mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=\bruch{\partial v}{\partial w}*\bruch{\partial w}{\partial y}+\bruch{\partial v}{\partial z}*\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm]
Dies wird jetzt in die partielle DGL eingesetzt.
>
> Danke im Vorraus für alle Feedbacks...
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Sa 06.06.2009 | | Autor: | stoffi1388 |
Danke, jetzt hab ich einen Ansatz ^^
|
|
|
|
