PFZ in R[x] < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 So 30.11.2008 | | Autor: | mrbraker |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zerlegen Sie x ^4 + 4 in R[x] (Ansatz: x ^4 + 4 = (x ^2 +b x+2)*( x ^2 +c x+2) . Frage: Warum kann man einen solchen Ansatz machen ?).
Zeigen Sie: Für n>=2 , n E N, ist [mm] n^4 [/mm] + 4 keine Primzahl |
Hallo,
ich steh hier irgendwie voll auf dem Schlauch. Ich verstehe das mit der PFZ überhaupt nicht. Der Ansatz, der hier gegeben ist, ist mit auch ganz und garnicht schlüssig.
Ich bräuchte also dringend Hilfe!!!
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 30.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also mit R[X] meinst du wohl [mm] \IR[X] [/mm] oder ?
Falls ja: Man weiß ja: [mm] \IR[X] [/mm] ist Hauptidealring, da [mm] \IR [/mm] Körper.
Folglich ist p prim [mm] \gdw [/mm] p irreduzibel.
Wenn du also die Primfaktorzerlegung vom Polynom suchst, kannst du also schauen, ob eine Zerlegung in irreduzible Polynome kleineren Grades existiert.
Wie könnte nun eine solche Zerlegung aussehen ?
z.B. f=g*h und g,h irreduzibel in [mm] \IR[X] [/mm]
Da grad f=4 ist, bleiben die Möglichkeiten grad g=1 und grad h=3
oder grad g=2 und grad h=2.
Der 1.Fall hieße aber, dass g eine Nullstelle in [mm] \IR [/mm] und damit auch f eine Nullstelle in [mm] \IR [/mm] hätte. Allerdings besitzt das Polynom [mm] f=X^4+4 [/mm] keine Nullstelle in [mm] \IR, [/mm] da [mm] X^4+4 [/mm] >0 für alle [mm] x\in \IR.
[/mm]
Bleibt also nur der zweite Fall und das entspricht dem Tipp.
Jetzt kannst du ja mal das Produkt [mm] (X^2+aX+b)(X^2+cX+d) [/mm] ausmultiplizieren.
Ab jetzt keine Lust, dass zu machen, angenommen da WÜRDE stehen
[mm] X^4+ (ac+bd)X^2 [/mm] + ad X + bd. Dann müsste ja gelten: ac+bd = 0,
ad = 0 und bd=4. Jetzt hat man ein Gleichungssystem und man kann schauen, ob das lösbar ist oder nicht. Wenn ja, dann hast du deine Zerlegung durch die Polynome 2.Grades mit a= ...,b= ... etc. gegeben, sofern die Polynome in [mm] \IR [/mm] keine Nullstellen haben.
Falls unlösbar, ist [mm] X^4+4 [/mm] irreduzibel in [mm] \IR[X] [/mm] und damit auch Primelement,d.h. die Primfaktorzerlegung liegt bereits vor, vergleichbar mit z.B. der Primfaktorzerlegung von 7 in [mm] \IZ [/mm] = 7, da 7 ja bereits prim ist.
VG
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 30.11.2008 | | Autor: | mrbraker |
danke, den ersten teil der Aufgabe hab ich jetzt verstanden... Aber mit dem zweiten teil, warum ist [mm] n^4+4 [/mm] für n e N > oder= 2 niemals eine primzahl, hab ich immer noch probleme... vielleicht hast du dafür ja auch noch einen tipp???
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 So 30.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> danke, den ersten teil der Aufgabe hab ich jetzt
> verstanden... Aber mit dem zweiten teil, warum ist [mm]n^4+4[/mm]
> für n e N > oder= 2 niemals eine primzahl, hab ich immer
> noch probleme... vielleicht hast du dafür ja auch noch
> einen tipp???
Schreib doch mal dein Ergebnis vom ersten Teil hier hin.
Und dann setz in das Polynom und die Zerlegung $x = n$ ein.
Siehst du etwas?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 30.11.2008 | | Autor: | mrbraker |
Ich hab zunächst die Klammern ausmultipliziert.
[mm] x^4+4 [/mm] = [mm] x^4+(c+b)*x^3+(2+bc+2)*x^2+(2b+2c)*x+4
[/mm]
Dann habe ich die Bedingung aufgestellt, dass die Sachen in Klammern 0 sein müssen, damit die Gleichung stimmt.
Daraus folgt: bc=-4, b+c=0 und b,c =2 oder -2
Wenn ich jetzt für x n einsetze, komm ich doch auf den selben Schluss!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 So 30.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich hab zunächst die Klammern ausmultipliziert.
> [mm]x^4+4[/mm] = [mm]x^4+(c+b)*x^3+(2+bc+2)*x^2+(2b+2c)*x+4[/mm]
> Dann habe ich die Bedingung aufgestellt, dass die Sachen
> in Klammern 0 sein müssen, damit die Gleichung stimmt.
> Daraus folgt: bc=-4, b+c=0 und b,c =2 oder -2
Also [mm] $x^4 [/mm] + 4 = [mm] (x^2 [/mm] + 2 x + 2) [mm] (x^2 [/mm] - 2 x + 2)$, wenn du dich nicht verrechnet hast.
> Wenn ich jetzt für x n einsetze, komm ich doch auf den
> selben Schluss!?
Was kannst du ueber [mm] $n^2 [/mm] + 2 n + 2$ und [mm] $n^2 [/mm] - 2 n + 2$ aussagen? Sind das ganze Zahlen? Kann das 1 oder -1 oder 0 werden?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 So 30.11.2008 | | Autor: | mrbraker |
n ist ja E N. Das heißt, dass schonmal nicht -1 rauskommen kann.
Aber ganze Zahlen sind es auf jeden Fall!
Ich versteh aber den Zusammenhang zwischen dieser Tatsache und der, dass [mm] n^4+4 [/mm] keine Primzahl ist, nicht.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 So 30.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> n ist ja E N. Das heißt, dass schonmal nicht -1 rauskommen
> kann.
> Aber ganze Zahlen sind es auf jeden Fall!
> Ich versteh aber den Zusammenhang zwischen dieser Tatsache
> und der, dass [mm]n^4+4[/mm] keine Primzahl ist, nicht.
Eine natuerliche Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn man sie nicht als Produkt von zwei Zahlen ungleich 1 und -1 schreiben kann.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 So 30.11.2008 | | Autor: | mrbraker |
ich glaub´, jetzt hab ichs.... vielen dank....
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