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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe | 1. Eine ideale Münze wird dreimal geworfen.
a) Geben Sie die Menge aller Elementarereignisse [mm] \Omega [/mm] zu diesem Zufallsexperiment sowie die folgenden Ereignisse mittels Z(Zahl) und W(Wappen an:
A - dreimal Zahl, A [mm] \cap [/mm] B
B - gleiche Seiten beim 1. und beim 3. Wurf, [mm] \overline{B}
[/mm]
C - gleiche Seiten bei allen drei Würfen C=, [mm] \overline{A \cup B \cup C}
[/mm]
b) Unter Sie, ob die Ereignisse A, B, C jeweils paarweise bzw. vollständig unabhängig sind. |
Hallo zusammen,
das ist eine Prüfungsaufgabe auf dem letzten Jahr, und ich weiß nichts mehr davon.
zu a)
[mm] \Omega=\left\{ ZZZ,WZZ,ZWZ,ZZW,WWZ,WZW,ZWW,WWW \right\}
[/mm]
[mm] A=\left\{ ZZZ \right\}
[/mm]
[mm] B=\left\{ ZZZ,WWW,ZWZ,WZW \right\}
[/mm]
[mm] C=\left\{ ZZZ,WWW \right\}
[/mm]
A [mm] \cap B=\left\{ WZZ,ZWZ,ZZW,WWZ,WZW,ZWW,WWW \right\}
[/mm]
[mm] \overline{B}=\left\{ WWZ, ZZW, ZWW, WZZ \right\}
[/mm]
[mm] \overline{A \cup B \cup C}= \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\left\{ ZWZ, WZW \right\}
[/mm]
stimmt das bis hier her?, und was muss ich tun um die abhänigigkeit bzw Unabhänigkeit von A,B,C zu prüfen?
Ich bin über jede Hilfe dankbar, wenns mir einer erklären könnte.
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mo 07.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Marcus,
da bist du ja wieder. Wie war denn Mathe heute?
> das ist eine Prüfungsaufgabe auf dem letzten Jahr, und ich
> weiß nichts mehr davon.
Stumpf gelogen ! 
>
> zu a)
>
> [mm]\Omega=\left\{ ZZZ,WZZ,ZWZ,ZZW,WWZ,WZW,ZWW,WWW \right\}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]A=\left\{ ZZZ \right\}[/mm]
> [mm]B=\left\{ ZZZ,WWW,ZWZ,WZW \right\}[/mm]
>
> [mm]C=\left\{ ZZZ,WWW \right\}[/mm]
>
> A [mm]\cap B=\left\{ WZZ,ZWZ,ZZW,WWZ,WZW,ZWW,WWW \right\}[/mm]
[mm] [notok]$A\cap [/mm] B$ ist das Ereignis, dass sowohl A als auch B eintritt!
>
> [mm]\overline{B}=\left\{ WWZ, ZZW, ZWW, WZZ \right\}[/mm]
>
> [mm]\overline{A \cup B \cup C}= \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\left\{ ZWZ, WZW \right\}[/mm]
[mm] [notok]$\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$ [/mm] ist das Ereignis, dass weder A, noch B noch C eintritt!
>
> stimmt das bis hier her?,
Teilweise.
>und was muss ich tun um die
> abhänigigkeit bzw Unabhänigkeit von A,B,C zu prüfen?
n Ereignisse [mm] $A_1,...,A_n$ [/mm] sind unabhaengig, wenn fuer *jede* Teilauswahl
[mm] $A_{i_1},...,A_{i_k}$ [/mm] gilt [mm] $P(A_{i_1}\cap...\cap A_{i_k})= P(A_{i_1})\times...\times P(A_{i_k})$, [/mm] anderenfalls abhaengig. Im
unguenstigsten Fall musst du [mm] $2^{n}-n-1$ [/mm] Gleichungen ueberpruefen, hier
also vier.
vg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Amarradi |
Hallo zusammen, hallo luis,
ich werde mir diese Aufgabe heute nach 19.30 Uhr erst angucken, ich habe jetzt noch eine Vorlesung.
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Amarradi |
Hallo zusammen, hallo luis,
Danke für deine Antwort, Klasse ich glaube ich poste mal meine Lösung.
Dann muss das so sein
A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \left\{ZZZ \right\}
[/mm]
> [mm]\overline{A \cup B \cup C}= \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\left\{ ZWZ, WZW \right\}[/mm]
[mm] [notok]$\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$ [/mm] ist das Ereignis, dass weder A, noch B noch C eintritt!
und das muss dann so sein
[mm] \overline{A \cup B \cup C}= \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\left\{ZZW, WWZ, ZWW \right\}
[/mm]
Ich komme auf 3 statt auf 4 wo ist die 4.?
P( A [mm] \cap [/mm] B )= [mm] P(A)*P(B)=\bruch{1}{8}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{16}
[/mm]
P( A [mm] \cap [/mm] C )= [mm] P(A)*P(B)=\bruch{1}{8}*\bruch{1}{4}=\bruch{1}{32}
[/mm]
P( B [mm] \cap [/mm] C )= [mm] P(B)*P(C)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{4}=\bruch{1}{8}
[/mm]
Sie sind alle nicht unabhängig, aber warum das so ist... ich hab keinen Plan, da tun sich jedes Jahr aufs neue Abgründe auf.
Was muss ich hier tun, ist hier gefragt
Beispielsweise
P(A)*P(B)=P(A)+P(B) ->paaweise abhängig ... bedeutet es das?
Ich weiß es nicht, gibt es jemanden der es weiß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mo 07.01.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\left\{ZZZ \right\}[/mm]
>
> > [mm]\overline{A \cup B \cup C}= \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\left\{ ZWZ, WZW \right\}[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm]\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}[/mm] ist
> das Ereignis, dass weder A, noch B noch C eintritt!
>
> und das muss dann so sein
>
> [mm]\overline{A \cup B \cup C}= \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\left\{ZZW, WWZ, ZWW \right\}[/mm]
>
[mm]\overline{A \cup B \cup C}= \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\left\{WZZ,ZZW, WWZ, ZWW \right\}[/mm]
> Ich komme auf 3 statt auf 4 wo ist die 4.?
$ P( A [mm] \cap B\cap [/mm] C )=P(A)P(B)P(C)$
>
> P( A [mm]\cap[/mm] B )=
> [mm]P(A)*P(B)=\bruch{1}{8}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{16}[/mm]
Was willst du uns hier sagen? Du kannst so argumentieren:
$ P( A [mm] \cap B)=\frac{1}{2}\ne \bruch{1}{8}*\bruch{1}{2}=P(A)P(B)$
[/mm]
Weil eine der 4 Gleichungen nicht erfuellt ist, sind die Ereignisse $A,B,C$
nicht unabhaengig.
>
> Was muss ich hier tun, ist hier gefragt
???
vg Luis
PS: Ich sehe gerade, dass zweierlei zu zeigen ist.
Paarweise Unabhaengkeit, also die Ueberpruefung, ob die
Paare (A,B) oder (A,C) oder (B,C) und vollstaendige Unabhaengigkeit,
also die Unabhaengigkeit von (A,B) und (A,C) und (B,C) und (A,B,C).
Dass A,B,C nicht vollstaendig unabhaengig sind, haben wir
bereits gesehen (da A und B nicht unabhaengig sind).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe | | Lösen Sie [mm] \overline{A \cup B \cup C}! [/mm] |
Hallo zusammen hallo luis,
kann ich diese Umformung so machen, laut De Morgan ist das richtig
[mm] \overline{A \cup B \cup C}= \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}
[/mm]
Ich mache das maj Schritt für Schritt, und ich hoffe ich finde meinen Fehler
[mm] \overline{A \cup B \cup C}
[/mm]
a [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup C=\left\{ ZZZ,ZWZ,WZW,WWW \right\}
[/mm]
[mm] \Omega=\left\{ ZZZ,WZZ,ZWZ,ZZW,WWZ,WZW,ZWW,WWW \right\}
[/mm]
Das ganze noch negieren
[mm] \overline{A \cup B \cup C}=\left\{ WWZ, ZZW, ZWW, WZZ \right\}=\overline{B}
[/mm]
[mm] \Omega=\left\{ ZZZ,WZZ,ZWZ,ZZW,WWZ,WZW,ZWW,WWW \right\}
[/mm]
Wenn ich das ganz mit [mm] \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C} [/mm] kommt das gleiche raus.
Wenn ich falsch liege sagt mir bitte wo?
Viele Grüße
Marcus Radisch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:10 Di 08.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Lösen Sie [mm]\overline{A \cup B \cup C}![/mm]
> Hallo zusammen hallo
> luis,
>
> kann ich diese Umformung so machen, laut De Morgan ist das
> richtig
> [mm]\overline{A \cup B \cup C}= \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}[/mm]
>
> Ich mache das maj Schritt für Schritt, und ich hoffe ich
> finde meinen Fehler
>
> [mm]\overline{A \cup B \cup C}[/mm]
>
> a [mm]\cup[/mm] B [mm]\cup C=\left\{ ZZZ,ZWZ,WZW,WWW \right\}[/mm]
>
> [mm]\Omega=\left\{ ZZZ,WZZ,ZWZ,ZZW,WWZ,WZW,ZWW,WWW \right\}[/mm]
>
> Das ganze noch negieren
>
> [mm]\overline{A \cup B \cup C}=\left\{ WWZ, ZZW, ZWW, WZZ \right\}=\overline{B}[/mm]
>
> [mm]\Omega=\left\{ ZZZ,WZZ,ZWZ,ZZW,WWZ,WZW,ZWW,WWW \right\}[/mm]
>
> Wenn ich das ganz mit [mm]\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}[/mm]
> kommt das gleiche raus.
>
>
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Amarradi |
| Aufgabe | | Was ist paarweise und was ist vollständig unabhänig? |
Hallo zusammen, hallo luis,
vielleicht stelle ich mich zu blöde an, aber die Unabhänigkeit verstehe ich nicht, kann mir das mal bitte einer erklären, der sich dsamit auskennt. Mein Favorit bei sowas ist wie immer das Urnenproblem, ich weiß bei dieser Aufgabe nicht was die Frau Prof. von mir möchte.
Viele Grüße
Marcus Radisch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mi 09.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Marcus,
du hast drei Ereignisse A,B,C. Ich zitiere mal aus meinem PS neulich:
Paarweise Unabhaengkeit bedeutet, dass du ueberpruefen musst, ob die
Paare (A,B) oder (A,C) oder (B,C) unabhangig sind. Du musst also die folgenden
Gleichungen ueberpruefen:
[mm] $P(A\cap [/mm] B)=P(A)P(B)$ ?
[mm] $P(A\cap [/mm] C)=P(A)P(C)$ ?
[mm] $P(B\cap [/mm] C)=P(B)P(C)$ ?
Ueberall da, wo die Gleichungen gelten, liegt paarweise Unabhaengigkeit
vor, sonst Abhaengigkeit.
Fuer die vollstaendige Unabhaengigkeit von A,B,C muessen *alle*
Gleichungen oben erfuellt sein und ausserdem
[mm] $P(A\cap B\cap [/mm] C)=P(A)P(B)P(C)$
vg
Luis
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