Parabel i.d. projektiven Ebene < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei in der affinen [mm] x_{1} x_{2}Ebene [/mm] A die Parabelgleichung [mm] 4x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}^2 [/mm] gegeben. Setzen Sie die Parabel in die projektive Ebene [mm] P^2(K) [/mm] durch eine Gleichung in homogenen Koordinaten [mm] x_{0}, x_{1}, x_{2} [/mm] fort! Welche Punkte dieses projektiven Kegelschnitts K liegen dann auf der unendlich fernen Geraden? Beweisen Sie, dass man eine andere Wahl
der unendlich fernen Geraden so treffen kann, dass in der dadurch entstehenden affinen Ebene A′ der Kegelschnitt K [mm] \cap [/mm] A′ zu einem Kreis wird. Hat dieses merkwürdige Resultat eine anschaulichgeometrische Interpretation? |
Ich weiß hierbei gar nicht, wie ich anfangen soll...hat jemand einen Anstoß für mich...wäre total nett...glg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mi 04.06.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Lena,
Weisst du denn, wie homogene, projektive Koordinaten funktionieren, und wie man Polynome aus affinen Räumen in den zugehörigen projektiven Raum einbettet?
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nein, nicht wirklich...ich weiß, das homogen bei polynomen heißt, dass der gleiche grad bei allen monomen vorkommt...aber dann...und dass man z.B aus [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 3 durch hinzufügen von [mm] x_{0} [/mm] etwas affines projektiv macht...also dann [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} =3x_{0}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Do 05.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> nein, nicht wirklich...ich weiß, das homogen bei polynomen
> heißt, dass der gleiche grad bei allen monomen
> vorkommt...aber dann...und dass man z.B aus [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] =
> 3 durch hinzufügen von [mm]x_{0}[/mm] etwas affines projektiv
> macht...also dann [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2} =3x_{0}[/mm]
Na also, was machst du dann bei $4 [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2^2$ [/mm] (kannst stattdessen ja auch $4 [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2^2 [/mm] = 0$ schreiben, wenn dir das leichter faellt)?
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Do 05.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei in der affinen [mm]x_{1} x_{2}Ebene[/mm] A die Parabelgleichung
> [mm]4x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}^2[/mm] gegeben. Setzen Sie die Parabel in die
> projektive Ebene [mm]P^2(K)[/mm] durch eine Gleichung in homogenen
> Koordinaten [mm]x_{0}, x_{1}, x_{2}[/mm] fort! Welche Punkte dieses
> projektiven Kegelschnitts K liegen dann auf der unendlich
> fernen Geraden?
Dazu bauchst du die homogene Gleichung, aber das Thema hatten wir ja schon. (Wenn du sie hast: du musst alle Loesungen der homogenen Gleichung bestimmen mit [mm] $x_0 [/mm] = 0$.)
> Beweisen Sie, dass man eine andere Wahl
> der unendlich fernen Geraden so treffen kann, dass in der
> dadurch entstehenden affinen Ebene A′ der
> Kegelschnitt K [mm]\cap[/mm] A′ zu einem Kreis wird.
Du suchst eine Geradengleichung $a [mm] x_0 [/mm] + b [mm] x_1 [/mm] + c [mm] x_2 [/mm] = 0$ mit $a, b, c [mm] \in [/mm] K$, nicht alle 0, so dass wenn du die homogene Parabelgleichung damit dehomogenisierst (etwa, wenn $a [mm] \neq [/mm] 0$ ist, kannst du [mm] $x_0 [/mm] = [mm] -\frac{b}{a} x_1 [/mm] - [mm] \frac{c}{a} x_2$ [/mm] in die homogene Gleichung einsetzen) so, dass die resultierende Gleichung einen Kreis beschreibt.
LG Felix
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