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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Parabel schneidet Kreis
Parabel schneidet Kreis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Parabel schneidet Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 So 30.11.2008
Autor: Mathissimo

Aufgabe
die parabel $ [mm] y=x^{2} [/mm] $ und der kreis mit dem radius 2 um den ursprung schneiden sich in 2 punkten.
a) formulieren sie dieses problem in der form $ [mm] f(x,y)=(0,0)^t [/mm] $ mit geigneten funktionen f: $ [mm] \IR->\IR [/mm] $
b)ermitteln sie die jacobi-matrix der funktion f
c) führen sie zwei schritte der newton iteration aus mit dem startwert $ [mm] (x_{0},y_{0})=(2,0) [/mm] $
d) geben sie einen punkt an für die das newton verfahren nicht durchführbar ist, begründen sie ihre entscheidung.

hi@all

ich hoffe mal, hier kann mir jemand weiter helfen.

bis jetzt haben wir sowas in parameterdarstellung immer mit dem parameter t dargestellt, da war dann die kreisparametrisierung
$ [mm] f=\vektor{r\cdot{}cost \\ r\cdot{}sint} [/mm] $
und dann für die prabel z.b $ [mm] f=\vektor{t \\ t^2} [/mm] $

aber jetzt soll ich das hier in abhängigkeit von x und y darstellen. wie?

soviel erstmal, wenn ich die a hab hoff ich mal das ich selber weiter komm ;)

schon mal danke für eure hilfe!!

ps: ich poste diese frage jetzt zum 3. mal, weil ich die vorigen themen nie im forenbaum gefunden habe und die threads nach 3 stunden immernoch 0 aufrufe hatten, ist das normal?
(habe sie ins forum "Abbildungen" gepostet, wo ich sie aber nicht finden kann)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Mo 01.12.2008
Autor: fred97


> die parabel [mm]y=x^{2}[/mm] und der kreis mit dem radius 2 um den
> ursprung schneiden sich in 2 punkten.
>  a) formulieren sie dieses problem in der form
> [mm]f(x,y)=(0,0)^t[/mm] mit geigneten funktionen f: [mm]\IR->\IR[/mm]
>  b)ermitteln sie die jacobi-matrix der funktion f
>  c) führen sie zwei schritte der newton iteration aus mit
> dem startwert [mm](x_{0},y_{0})=(2,0)[/mm]
>  d) geben sie einen punkt an für die das newton verfahren
> nicht durchführbar ist, begründen sie ihre entscheidung.
>  hi@all
>  
> ich hoffe mal, hier kann mir jemand weiter helfen.
>  
> bis jetzt haben wir sowas in parameterdarstellung immer mit
> dem parameter t dargestellt, da war dann die
> kreisparametrisierung
>  [mm]f=\vektor{r\cdot{}cost \\ r\cdot{}sint}[/mm]
>  und dann für die
> prabel z.b [mm]f=\vektor{t \\ t^2}[/mm]
>  
> aber jetzt soll ich das hier in abhängigkeit von x und y
> darstellen. wie?


Die Kreisgleichung ist [mm] x^2+y^2 [/mm] = 4.

Setze $f(x,y) := [mm] \vektor{x^2+y^2 -4 \\ x^2-y}$ [/mm]

Hilft das ?

FRED



>  
> soviel erstmal, wenn ich die a hab hoff ich mal das ich
> selber weiter komm ;)
>  
> schon mal danke für eure hilfe!!
>  
> ps: ich poste diese frage jetzt zum 3. mal, weil ich die
> vorigen themen nie im forenbaum gefunden habe und die
> threads nach 3 stunden immernoch 0 aufrufe hatten, ist das
> normal?
>  (habe sie ins forum "Abbildungen" gepostet, wo ich sie
> aber nicht finden kann)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Mo 01.12.2008
Autor: Belle_

Hi,
genau so habe ich das auch,
wie würde das dann weiter gehen?!?

LG

Belle

Bezug
                
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Mo 01.12.2008
Autor: fred97

Bei a) sollst Du die Jacobimatrix berechnen. Mach das mal

FRED

Bezug
                        
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mo 01.12.2008
Autor: Belle_

zu b)  jacobi matrix wäre dann: Df(x,y) = [mm] \pmat{ 2x & 2y \\ 2y & -1 } [/mm]
an der stelle [mm] (x_{0},y_{0})= [/mm] (2,0)  ist das dann [mm] Df(2,0)=\pmat{ 4 & 0 \\ 4 & -1 } [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Mo 01.12.2008
Autor: Belle_

zu c)
Anschließend hab ich ich folgendes berechnet:
[mm] D\vec{f}(x_{0},y_{0})*\vec{z} [/mm] = [mm] -\vec{f}(x_{0},y_{0}) [/mm]

da bekomme ich für [mm] \vec{z}= \vektor{0 \\ 4} [/mm] raus

dann:  [mm] \vec{z}= \vec{x_{1}}- \vec{x_{0}} [/mm]
daraus folgt, dass [mm] \vec{x_{1}} =\vektor{2 \\ 4} [/mm] ist

und bei dem 2. schritt bekomme ich raus:
[mm] \vec{x_{2}} =\vektor{\bruch{14}{9} \\ \bruch{20}{9}}, [/mm] also ungefähr
[mm] \vec{x_{2}} =\vektor{1,55556 \\ 2,22222}, [/mm]

kann das stimmen?!?

p.s.: die richtigen "nullstellen" bzw. schnittpunkte müssten lauten: (1,732051;1,732051) und (-1,732051;-1,732051)

Bezug
                                        
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Mi 03.12.2008
Autor: Gerit


>  Anschließend hab ich ich folgendes berechnet:
>  [mm]D\vec{f}(x_{0},y_{0})*\vec{z}[/mm] = [mm]-\vec{f}(x_{0},y_{0})[/mm]
>  
> da bekomme ich für [mm]\vec{z}= \vektor{0 \\ 4}[/mm] raus

Ich hab da irgendwie gerade ein Brett vor dem Kopf!
Ich komme nicht auf den Vektor [mm]\vec{z}= \vektor{0 \\ 4}[/mm]

Ich könnte jetzt ausholen und erklären was ich schon alles probiert habe aber vielleicht kann mir auch einer die 2-3 Schritte so erklären!


Bezug
                                                
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Mi 03.12.2008
Autor: MathePower

Hallo Gerit,


[willkommenmr]

> >  Anschließend hab ich ich folgendes berechnet:

>  >  [mm]D\vec{f}(x_{0},y_{0})*\vec{z}[/mm] = [mm]-\vec{f}(x_{0},y_{0})[/mm]
>  >  
> > da bekomme ich für [mm]\vec{z}= \vektor{0 \\ 4}[/mm] raus
>  
> Ich hab da irgendwie gerade ein Brett vor dem Kopf!
>  Ich komme nicht auf den Vektor [mm]\vec{z}= \vektor{0 \\ 4}[/mm]
>  
> Ich könnte jetzt ausholen und erklären was ich schon alles
> probiert habe aber vielleicht kann mir auch einer die 2-3
> Schritte so erklären!
>  


Nun die Lösung von

[mm]D\vec{f}(x_{0},y_{0})*\vec{z}= -\vec{f}(x_{0},y_{0})[/mm]

ergibt sich zu

[mm]\vec{z}=-\left(D\vec{f}(x_{0},y_{0})\right)^{-1}\vec{f}(x_{0},y_{0})[/mm]

Bilde demnach die Inverse von [mm]D\vec{f}(x_{0},y_{0})[/mm] und multipliziere sie mit [mm]-\vec{f}(x_{0},y_{0})[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Do 04.12.2008
Autor: Gerit

Auf den Vektor [mm] x_{1} [/mm] bin ich jetzt gekommen wenn ich aber mit diesem weiter rechne und [mm] x_{1} [/mm] in Df und f einsetzte bekomme ich die inverse [mm] \pmat{ 1/36 & 2/9 \\ 1/9 & -1/9 } [/mm] und -f [mm] \vektor{8 \\ 0} [/mm] heraus. Dann hab ich für z [mm] \vektor{-2/9 \\ -8/9} [/mm] heraus und demnach für [mm] x_{2}=\vektor{16/9 \\ 28/8}. [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Do 04.12.2008
Autor: MathePower

Hallo Gerit,


> Auf den Vektor [mm]x_{1}[/mm] bin ich jetzt gekommen wenn ich aber
> mit diesem weiter rechne und [mm]x_{1}[/mm] in Df und f einsetzte
> bekomme ich die inverse [mm]\pmat{ 1/36 & 2/9 \\ 1/9 & -1/9 }[/mm]
> und -f [mm]\vektor{8 \\ 0}[/mm] heraus. Dann hab ich für z
> [mm]\vektor{-2/9 \\ -8/9}[/mm] heraus und demnach für
> [mm]x_{2}=\vektor{16/9 \\ 28/8}.[/mm]  


Der Vektor f muß so lauten:

[mm]\pmat{\red{16} \\ 0}[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Di 02.12.2008
Autor: Arvi-Aussm-Wald

ich hab die gleichen ergebnisse ;)

Bezug
                                        
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mi 03.12.2008
Autor: Belle_

zu teil d) was für ein punkt ist da gemeint?!?
d) geben sie einen punkt (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] an für die das newton verfahren nicht durchführbar ist, begründen sie ihre entscheidung.

Bezug
                                                
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Mi 03.12.2008
Autor: MathePower

Hallo Belle_,

> zu teil d) was für ein punkt ist da gemeint?!?
>  d) geben sie einen punkt (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] an für die das
> newton verfahren nicht durchführbar ist, begründen sie ihre
> entscheidung.


Ich denke, damit ist gemeint:

Finde einen Punkt für den die Jacobi-Matrix nicht invertierbar ist.


Gruß
MathePower

Bezug
                
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Parabel schneidet Kreis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Mo 01.12.2008
Autor: Arvi-Aussm-Wald

ich klink mich dann auch mal hier ein ;)

hab aber net so ganz verstanden wie du auf die funktion gekommen bist.

[mm] y=x^2 [/mm]
[mm] x^2+y^2=4 [/mm]

wieso kannst das dann einfach so in [mm] f(x,y)=\vektor{x^2+y^2-4 \\ x^2-y} [/mm] umschreiben?

obere komponte ist doch x untere y und nicht einfach gleichung 1, gleichung 2.

Bezug
                        
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 Mo 01.12.2008
Autor: Arvi-Aussm-Wald

ok vergiss es ich habs geschnallt xD

Bezug
                        
Bezug
Parabel schneidet Kreis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Mo 01.12.2008
Autor: fred97

Die Aufgabe war doch

die parabel $ [mm] y=x^{2} [/mm] $ und der kreis mit dem radius 2 um den ursprung schneiden sich in 2 punkten.
a) formulieren sie dieses problem in der form $ [mm] f(x,y)=(0,0)^t [/mm] $ mit geigneten funktionen f: $ [mm] \IR->\IR [/mm] $


!!!!!!

FRED






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