Parabel soll Quadrat teilen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Fr 31.12.2004 | | Autor: | raumzeit |
Hier die Aufgabe:
Gegeben ist im ersten Quadranten eine Fläche in Form eines Quadrates. Gesucht ist die Gleichung der Parabel, die durch die beiden oberen Eckpunkte des Quadrates P1 (0,4) und P2 (4,4) verläuft und das Quadrat in 2 Flächengleiche Teile zerlegt.
Ich hatte die Idee einer Betragsgleichung, aber das ist dann ja keine Parabel mehr.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Fr 31.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo raumzeit,
natürlich auch für Dich ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") noch im alten Jahr !!
Auch wir freuen uns hier über eine nette Begrüßung  ...
> Gegeben ist im ersten Quadranten eine Fläche in Form eines
> Quadrates. Gesucht ist die Gleichung der Parabel, die
> durch die beiden oberen Eckpunkte des Quadrates P1 (0,4)
> und P2 (4,4) verläuft und das Quadrat in 2 Flächengleiche
> Teile zerlegt.
>
> Ich hatte die Idee einer Betragsgleichung, aber das ist
> dann ja keine Parabel mehr.
Na, wie lautet denn die allgemeine Formel für 'ne Parabel?
$p(x) = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c$
Wir haben also 3 Unbekannte (a, b, c), die wir bestimmen müssen.
Dafür sind folglich (mind.) 3 Informationen nötig, um daraus 3 Gleichungen erstellen zu können.
Da die Parabel durch die Eckpunkte des Quadrates gehen soll, muß gelten:
p(0) = 4 sowie
p(4) = 4
Die 3. Info erhalten wir duch die Fläche unter der Parabel, die das gegebene Quadrat halbieren soll:
[mm] $A_{Quadrat} [/mm] = 4 * 4 = 16$ [F.E.]
Daraus folgt:
[mm] $A_{Parabel} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 16 = 8$[F.E.]
Die Fläche unter Funktionsgraphen erhalten wir duch Integration.
Die 3. Gleichung lautet also:
[mm] $\integral_{0}^{4} [/mm] {p(x) dx} = 8$
Kommst Du nun alleine weiter?
Sonst einfach mal probieren und Deine weiteren Lösungsansätze hier posten ...
Grüße + einen guten Rutsch ...
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Fr 31.12.2004 | | Autor: | raumzeit |
Danke für das Willkommen ,
mir ist das noch nicht ganz klar. Um die Koeffizienten zu berechnen, muß ich da auf die Scheitelpunktform zurückgreifen ? Und wie stelle ich denn die Integralgleichung um ?
Raumzeit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Fr 31.12.2004 | | Autor: | Fugre |
> Danke für das Willkommen ,
>
> mir ist das noch nicht ganz klar. Um die Koeffizienten zu
> berechnen, muß ich da auf die Scheitelpunktform
> zurückgreifen ? Und wie stelle ich denn die
> Integralgleichung um ?
>
> Raumzeit
>
Hallo Raumzeit,
um die Koeffizienten zu berechnen stellst du ein Gleichungssystem auf.
Wie Loddar schon sagte, ist die allgemeine Parabelgleichung
[mm] $p(x)=ax^2+bx+c$
[/mm]
Bekannt ist, dass der Punkt [mm] $P_1(0/4)$ [/mm] ein Punkt der Parabel ist
(1) $ [mm] \rightarrow p(0)=a0^2+b0+c=c=4$
[/mm]
und wir wissen, dass der Punkt [mm] $P_2(4/4)$ [/mm] ein Punkt der Parabel ist
(2) $ [mm] \rightarrow [/mm] p(4)=4^2a+4b+c=16a+4b+c=4$
und wir kennen die Fläche
(3) $ [mm] \rightarrow \integral_{0}^{4} {ax^2+bx+c dx}=8 [/mm] $
Das sind die 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Nun muss bei der (3) noch integriert werden und dann hast du ein lineares Gleichungssystem.
Jetzt kannst du beispielsweise zu einer Unbekannten hin auflösen und dann einsetzen,
sodass 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten entstehen und das machst du bis eine Unbekannte
bekannt worden ist. Diese Bekannte setzt du dann ein und die Aufgabe ist gelöst.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße und guten Rutsch
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 31.12.2004 | | Autor: | raumzeit |
hallo,
ich integriere also die dritte Gleichung. anschließend setze ich für c =4 , stelle dann z.B. nach b um und setze diesen term dann in die integrierte Gleichung ein, bzw. stelle dann nach der anderen Variablen um ?!?
gruß torben
guten rutsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Fr 31.12.2004 | | Autor: | Loddar |
> ich integriere also die dritte Gleichung. anschließend
> setze ich für c =4 , stelle dann z.B. nach b um und setze
> diesen term dann in die integrierte Gleichung ein, bzw.
> stelle dann nach der anderen Variablen um ?!?
Nicht in die integrierte Gleichung, sondern in die Gleichung [2].
Wenn Du das b aus der intergrierten Gleichung (= Gleichung [3]) wieder in diese Gleichung einsetzt, kommst Du nicht wirklich weiter, da Du eine wahren Aussage erhalten müsstest.
Zusammenfassend:
[1] $p(0) = [mm] 0^2*a [/mm] + 0*b + c = c = 4$
[2] $p(4) = [mm] 4^2*a [/mm] + 4*b + c = 16a + 4b + c = 16a + 4b + 4= 4$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[2'] b = -4a
[3] [mm] $\integral_{0}^{4} [/mm] {p(x) dx} = [mm] \integral_{0}^{4} {(ax^2 + bx + c) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{4} {(ax^2 + bx + 4) dx} [/mm] = 8$
Wenn Du möchtest, kannst Du Gleichung [2'] auch noch vor der Integration in Gleichung [3] einsetzen und anschließend nach a umstellen ...
[3'] [mm] $\integral_{0}^{4} {(ax^2 + (-4a)x + 4) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{4} {(ax^2 - 4ax + 4) dx} [/mm] = 8$
Einen guten Rutsch ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") und erfolgreiches 2005 ...
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Fr 31.12.2004 | | Autor: | Loddar |
> Danke für das Willkommen
Gern geschehen
> mir ist das noch nicht ganz klar. Um die Koeffizienten zu
> berechnen, muß ich da auf die Scheitelpunktform
> zurückgreifen ?
Nein, wie oben geschrieben, benutzen wir die allgemeine (Polynom-)Darstellung $f(x) = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c$.
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 31.12.2004 | | Autor: | dominik |
Diese Variante rechnet mit nur zwei Unbekannten:
Da die ganze Figur symmetrisch ist, hat der Scheitel der Parabel den x-Wert 2 und einen noch unbekannten y-Wert b.
Damit lautet die Gleichung der Parabel folgendermassen:
[mm] f(x)=a*(x-2)^{2}+b. [/mm]
Wir haben jetzt lediglich 2 Unbekannte und brauchen 2 Gleichungen:
1) [mm] f(0)=4\gdw4=a*(-2)^{2}+b\gdw4=4a+b\gdw [/mm] b=4-4a
In der Funktionsgleichung ersetzen wir b durch diesen Wert:
[mm] \Rightarrow f(x)=a*(x-2)^{2}+4-4a=ax^{2}-4ax+4
[/mm]
2) Wie in den andern vorgeschlagenen Lösungen integrieren wir:
[mm] \integral_{0}^{4} {(ax^{2}-4ax+4) dx}=[ \bruch{1}{3}ax^{3}-2ax^{2}+4x]_0^4=\bruch{64}{3}a-32a+16
[/mm]
Nun gilt also:
[mm] \bruch{64}{3}a-32a+16=8\gdw [/mm] [mit 8 kürzen]
[mm] \bruch{8}{3}a-4a+2=1\gdw8a-12a+6=3\gdw-4a=-3 \gdw a=\bruch{3}{4} \Rightarrow [/mm] b=4-3=1
Die Gleichung der Parabel lautet nun:
[mm] f(x)=\bruch{3}{4}(x-2)^2+1=\bruch{3}{4}x^{2}-3x+4
[/mm]
Viele Grüsse und es guets Neus!
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