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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Mo 03.04.2006 | | Autor: | minowa |
| Aufgabe | | Eine zum Koordinatenursprung symmetrische Funktion 3. Grades hat an der Stelle -2 einen Tiefpunkt und schließt mit der x-Achse eine Fläche mit dem Flächeninhalt 18 ein. Bestimmen Sie den Funktionsterm. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also ich war gerade dabei, etwas Mathe zu üben für nen Test am Freitag und bin im Buch auf die Aufgabe hier gekommen. Ich hab keinen Plan, wo ich anfangen soll und mit was. Was hilft es mir, wenn geschrieben wird, dass bei -2 ein Tiefpunkt ist? Ich kann das nicht ganz als Info "verwerten".
Kann mir vielleicht bitte jemand erklären, wie ich auf die Gleichung der Parabel 3. Grades komme?
Würde mich wirklich sehr über Hilfe und Tipps freuen! 
Eure Minowa
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Hallo!
> Eine zum Koordinatenursprung symmetrische Funktion 3.
> Grades hat an der Stelle -2 einen Tiefpunkt und schließt
> mit der x-Achse eine Fläche mit dem Flächeninhalt 18 ein.
> Bestimmen Sie den Funktionsterm.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> also ich war gerade dabei, etwas Mathe zu üben für nen
> Test am Freitag und bin im Buch auf die Aufgabe hier
> gekommen. Ich hab keinen Plan, wo ich anfangen soll und mit
Du fängst genauso an, wie du es machst, nämlich damit, die Infos in "Mathematik" umzusetzen.
> was. Was hilft es mir, wenn geschrieben wird, dass bei -2
> ein Tiefpunkt ist? Ich kann das nicht ganz als Info
> "verwerten".
Naja, was sind denn die Bedingungen für einen Tiefpunkt? Was machst du, wenn du bei einer Funktion einen Tiefpunkt suchst? Du berechnest die erste Ableitung und setzt diese =0. Die zweite Ableitung bei einem Tiefpunkt muss >0 sein. Und das Gleiche gilt hier auch, und zwar an der Stelle x=-2.
> Kann mir vielleicht bitte jemand erklären, wie ich auf die
> Gleichung der Parabel 3. Grades komme?
Eine Parabel 3. Grades gibt es nicht. Eine Parabel ist nach Definition immer eine Funktion 2. Grades. Eine Funktion 3. Grades ist: [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
Zum Koordinatenursprung symmetrisch bedeutet, dass gilt: f(x)=-f(-x). f(x) habe ich dir gerade angegeben, [mm] f(-x)=a*(-x)^2+b*(-x)^2+c*(-x)+d=-ax^3+bx^2-cx+d [/mm] - damit hättest du die zweite Gleichung (die erste ergibt sich aus den Tiefpunkteigenschaften).
Naja, und zu der Fläche: da muss gelten: [mm] \integral_{1. \mbox{Nullstelle}}^{2. \mbox{Nullstelle}}f(x)\;dx=18
[/mm]
Und ich glaube, das ist erstmal alles, was man weißt...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Mo 03.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
das sind doch schon einige fundierte hinweise von bastiane. mal sehen, ob wir noch etwas weiter kommen.
eine funktion dritten gerades, die symmetrisch zum koordinatenursprung ist, besteht nur aus ungeraden exponenten für x. auf deutsch:
f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + bx
die anderen koeffizienten müssen gleich null sein, wegen der bedingung für die punktsymmetrie zum ursprung: f(x) = -f(-x).
wir müßten also jetzt nur noch die beiden koeffizienten a und b bestimmen, dann können wir die funktionsgleichung aufstellen.
ok.
da wir die stelle kennen, an der ein tiefpunkt der funktion liegt, bilden wir einfach mal die ersten beiden ableitungen:
f'(x) = [mm] 3ax^2 [/mm] + b
f''(x) = 6ax
und wir wissen
f'(-2) = 0 [notwendige bedingung für extremwerte]
f''(-2) > 0
0 = 12a + b
-12a > 0 d.h. a<0 !
Wenn ich das richtig gelesen habe soll die Funktion zwischen -2 und 0 ein Flächenstück der Größe 18 mit der x-Achse einschließen.
ok, soweit für heute... hoffe es hilft etwas weiter!
gruss
wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 04.04.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> eine funktion dritten gerades, die symmetrisch zum
> koordinatenursprung ist, besteht nur aus ungeraden
> exponenten für x. auf deutsch:
>
> f(x) = [mm]ax^3[/mm] + bx
Ist nicht [mm] f(x)=x^3+x^2+x [/mm] auch symmetrisch zum Ursprung?
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 04.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Bastiane.
> > eine funktion dritten gerades, die symmetrisch zum
> > koordinatenursprung ist, besteht nur aus ungeraden
> > exponenten für x. auf deutsch:
> >
> > f(x) = [mm]ax^3[/mm] + bx
>
> Ist nicht [mm]f(x)=x^3+x^2+x[/mm] auch symmetrisch zum Ursprung?
Mit Symmetrie zum Ursprung ist die Punktsymmetrie gemeint, es muss gelten
- f(x) = f(-x)
was bei [mm] f(x)=x^3+x^2+x
[/mm]
nicht erfüllt wäre.
Wie definierst du denn symmetrisch? Der Graph an sich sieht leicht symmetrisch aus, das stimmt.
g(x) = [mm] x^3 [/mm] ist symmetrisch zum Ursprung, da gilt
- g(x) = g(-x)
- [mm] x^3 [/mm] = [mm] (-x)^3
[/mm]
Bei unserer Funktion hätten wir
- [mm] (x^3+x^2+x) [/mm] = [mm] (-x)^3+\red{(-x)^2}+(-x) [/mm]
[mm] -x^3 -x^2 [/mm] + x [mm] \not= -x^3+x^2-x
[/mm]
Oder worauf willst du hinaus? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Liebe Grüße,
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Di 04.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
ich würde gerne noch eine Ergänzung zu meiner Antwort gestern loswerden!
Also. Ich suche den Funktionsterm einer punktsymmetrischen Funktion 3. Grades, d.h. f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + bx.
Ich habe zwei Unbekannte, a und b, die ich bestimmen muss.
Wie bereits oben gesagt,
ist f'(x) = [mm] 3ax^2 [/mm] + b und diese ist an der Stelle x=-2 gleich null, da dort ein lokales Extremum liegt.
Aus 0 = [mm] 3a(-2)^2 [/mm] + b folgt 0 = 12a + b. Dies ist also meine erste Gleichung!
Nun brauche ich aber noch eine zweite Gleichung.
Wir wissen, dass das Flächenmaß der Funktion 18 beträgt, für die Fläche die der Graph mit der x-Achse einschließt.
Habe noch länger über die Intervallgrenzen gegrübelt.
Hier die Lösung.
Meine Stammfunktion lautet:
F(x) = 1/4 a [mm] x^4 [/mm] + 1/2 b [mm] x^2
[/mm]
Die Intervallgrenzen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse, also
f(x) = 0 = [mm] ax^3 [/mm] + bx
0 = x [mm] (ax^2 [/mm] + b)
1. Nst x=0
Der zweite Faktor wird null wenn
[mm] ax^2 [/mm] + b = 0 ist.
[mm] x^2 [/mm] = - b/a -b/a muss aber positiv sein, da a <0 sein muss und b>0 sein muss!
Daher kann ich auch die Wurzel ziehen. (Käme allerdings auch ohne Wurzelziehen zunächst weiter, wenn ich [mm] x^2 [/mm] in die Stammfunktionsgleichung einsetze)
x1 = [mm] \wurzel{-b/a}
[/mm]
x2 = - [mm] \wurzel{-b/a}
[/mm]
Ich setze nun x bzw. [mm] x^2 [/mm] in die Stammfunktion ein, und erhalte die zweite Gleichung. Diese löse ich nach einer der beiden gesuchten Größen auf und setze das Ergebnis in die erste Gleichung ein.
Auf geht's!
F(x) = 1/4 [mm] ax^4 [/mm] + 1/2 [mm] bx^2 [/mm]
18 = 1/4 a [mm] b^2/a^2 [/mm] + 1/2 b*(-b/a)
72 = - [mm] b^2/a
[/mm]
a= - [mm] b^2/72.
[/mm]
in 0 = 12a + b einsetzen:
0 = 12 [mm] (-b^2/72) [/mm] + b
[mm] b^2 [/mm] - 6 b = 0
b1 = 0 => a1= 0 d.h. keine brauchbare Lösung!
b2 = 6 => a2= -1/2
Die gesuchte Funktion lautet:
f(x) = - 1/2 [mm] x^3 [/mm] + 6x
Probe:
Nullstellen der Funktion
0 = - [mm] 1/2x^3 [/mm] +6x
0 = x [mm] (-1/2x^2 [/mm] +6)
x0=0
[mm] x^2 [/mm] = 12
x1 = [mm] \wurzel{12}
[/mm]
x2 = - [mm] \wurzel{12}
[/mm]
f'(x) = - [mm] 3/2x^2 [/mm] + 6
Nullstellen von f'(x) bei -2 und +2
f''(x) = - 3x [ >0 für x=-2 ]
Stammfunktion
Intervallgrenzen: - [mm] \wurzel{12} [/mm] ; 0
F(x) = - 1/8 [mm] x^4 [/mm] + [mm] 3x^2
[/mm]
F(x) = - 1/8*144 + 3*12
F(x) = -18 + 36 = +18
Schlusssatz:
Für x-> - [mm] \infty [/mm] geht f(x) -> + [mm] \infty
[/mm]
für x = - [mm] \wurzel{12} [/mm] ist f(x) = 0
für x = -2 ist lokales Minimum mit f(-2) = -8
für x= 0 ist f(x) = 0
dann gibt es noch ein lokales Maximum bei x=2
und eine weitere Nullstelle bei x= + [mm] \wurzel{12} [/mm] ist f(x) = 0
und für x-> + [mm] \infty [/mm] geht f(x) -> - [mm] \infty
[/mm]
ok.
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]"){kind=small}
