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Hallo liebe Forum-Freunde
Bin bei dieser Aufgabe völlig ratlos,weiß nicht mal wie ich vorgehen soll, deshalb bitteich euch um eure Hilfe.
Aufagbe:Gesucht ist der Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen von
[mm] f(x)=x^3 [/mm] und der x-Achse über dem Intervall [0;1].
Benötigte Summenformel: [mm] 1^3+2^3+...+n^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}
[/mm]
Ich bedane mich schon im Voraus
Viel Gruß
Hasan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 So 09.11.2008 | | Autor: | Adamantin |
Sehe ich das richtig, dass ihr noch keine Integrale berechnen könnt, sondern die Aufgabe mithilfe der Ober- oder Untersumme lösen sollt? Du hast ja keine Frage formuliert, sondern nur eine Summengleichung for die Summe der natürlichen Zahlen hoch 3 aufgeschrieben, aber ich gehe davon aus, du willst wissen, wie man darauf kommt oder damit den Inhalt bestimmt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 So 09.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
ja genau
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Dann versuche ich es dir einmal darzustellen. Je nach dem, ob du die Ober- oder Untersumme nimmst, verändert sich die Rechnung natürlich leicht, bei der Untersumme geht man nur bis n-1 für die Anzahl der Rechtecke, bei der Obersumme kommt ja am Anfang Ende noch ein Rechteck dazu und man geht bis n. Aber langsam, ich mache es hier einfach mal mit der Obersumme, da wir dann nicht in die Summenformel (n-1) einsetzen müssen.
Du hast die Funktion [mm] x^3 [/mm] und das Intervall [0;1]. Das Verfahren geht ja mit Rechtecken, also brauchen wir für dessen Inhalt zwei Größen, einmal die Grundseite, sozusagen der Abschnitt auf der x-Achse, die Breite des Rechtecks. Diese Breite ist bei ALLEN Rechtecken gleich, denn wir teilen das Intervall von 0 bis 1 in gleichviele Abschnitte, auch bezeichnet als $ [mm] \Delta [/mm] x $, also sozusagen die Differenz zwischen den einzelnen Abschnitten auf der x-Achse.
Man kann sich das so vorstellen, dass du deine Strecke von der Länge 1 (von 0 bis 1 also) zuerst einmal in vier Teile teilst. Damit würdest du deine Strecke in vier Abschnitte teilen (und dein n beträge 4), die die Teilmarkierungen 0,25; 0,5; 0,75 und 1 haben. Damit würden sich dann als Obersumme vier Rechtecke ergeben, die alle die Breite [mm] \bruch{1}{4} [/mm] hätten! Denn jedes Rechtecke würde genau [mm] \bruch{1}{4} [/mm] lang sein. Da wir aber eine genaue Fläche haben wollen, ist dies nur möglich, in dem wir die Stücke immer kleiner werden lassen, wodurch die Endsumme immer genauer wird, da wir ja immer noch kleinere Rechtecke bilden (n muss also immer größer werden, denn je größer n, in um so mehr Abschnitte zerlegen wir die Strecke). Somit schreiben wir letztendlich [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] denn wir teilen jetzt die Strecke von 0 bis 1 durch sozusagen eine so große Zahl, dass wir unendlich viele kleine Abschnitte erhalten. Dafür brauchen wir dann später auch den Limes als Schreibweise, aber davon nicht irritieren lassen.
Wir wissen jetzt also, dass jedes Rechtecke der Fläche unter [mm] x^3 [/mm] von 0 bis 1 eine Breite von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] hat, aber uns fehlt noch die Höhe. Die Höhe des ersten Rechtecks kannst du dir klarmachen, wenn du dir [mm] x^3 [/mm] aufmalst und einfach mal einen großen Maßstab wählst und für das Verständnis die Strecke von 0 bis 1 nur in 4 oder 2 Teile zerlegst, damit du die Rechtecke gut malen kannst. Dann ist klar, die Breite ist, wie gesagt, [mm] \bruch{1}{4} [/mm] (oder [mm] \bruch{1}{2}), [/mm] und die Höhe deines ersten Rechteckes? Bei der Obersumme geht das erste Rechteck ja sozusagen von 0 bis zur ersten Markierung unserer Strecke, also hier 0,25 oder 0,5, je nach Maßstab. Die Höhe endet aber offensichtlich auf dem Graphen von [mm] x^3, [/mm] nämlich genau am y-wert. Das heißt, die Höhe ist einfach der Funktionswert! Also beträgt die Höhe des ersten Rechtecks [mm] f(\bruch{1}{4}). [/mm] Das zweite Rechteck ist ja nun doppelt so weit wie das erste vom Ursprung entfernt. Das heißt, dass zweite Rechteck, dass ja nicht mehr bei 0,25 sondern bei 0,5 beginnt, hat also Höhe einen Funktionswert, der doppelt so weit weg liegt wie der erste, denn es geht ja immer um [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nach rechts auf der x-Achse (bzw bei unseren Beispiel um [mm] \bruch{1}{4}). [/mm] Daher ist die Höhe des zweiten Rechtecks [mm] f(\bruch{1}{2}), [/mm] bzw. f(0,5)
Nun endlich können wir das ganze verallgemeinern. Wenn ich dir bis hierhin nur bekanntes gesagt habe, tut es mir Leid, aber ich wusste nicht, wie viel Vorwissen du hast oder welches Verständnis du bereits entwickelt hast.
Für den allgemeinen Fall von $ [mm] \Delta x=\bruch{1}{n} [/mm] $ haben wir herausgefunden, dass die Breite fest [mm] \bruch{1}{n} [/mm] bleibt, und die Höhe mit jedem Rechteck um [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] ansteigt. Ganz ausführlich notiert, bedeutet dies:
$ [mm] Obersumme=\bruch{1}{n}*f(\bruch{1}{n})+\bruch{1}{n}*f(2*\bruch{1}{n})+\bruch{1}{n}*f(3*\bruch{1}{n})+...+\bruch{1}{n}*f(n*\bruch{1}{n}) [/mm] $
Was nun folgt, ist eine schrittweise Verallgemeinerung. Zuerst beginnen wir, [mm] \bruch{1}{n} [/mm] auszuklammern:
$ [mm] Obersumme=\bruch{1}{n}*[f(\bruch{1}{n})+f(2*\bruch{1}{n})+f(3*\bruch{1}{n})+...+f(n*\bruch{1}{n})] [/mm] $
Weiterhin können wir nun auch [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] ausrechnen, denn die Funktionsvorschrift, nämlich [mm] f(x)=x^3 [/mm] ist uns ja bekannt, das bedeutet:
$ [mm] Obersumme=\bruch{1}{n}*[(\bruch{1}{n})^3+(\bruch{2}{n})^3+(\bruch{3}{n})^3+...+(\bruch{n}{n})^3] [/mm] $
Nun kannst du schon gut erkennen, warum wir eine Summenformel für eine Reihe natürlicher Zahlen mit dritter Potenz brauchen, denn darauf läuft der Term in den eckigen Klammern hinaus. Zuvor lässt sich das ganze aber noch vereinfachen, denn in jedem einzelnen Term kommt noch einmal ein [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] weshalb wir diesen Teil herausziehen können! Denn [mm] \bruch{2}{n} [/mm] ist ja nichts anderes als [mm] 2*\bruch{1}{n}, [/mm] also können wir [mm] \bruch{1}{n} [/mm] herausziehen und behalten die 2 übrig. Beachten muss man dabei, dass wir streng genommen natürlich [mm] (\bruch{1}{n})^3 [/mm] herausziehen!
$ [mm] Obersumme=\bruch{1}{n}*(\bruch{1}{n})^3*[1^3+2^3+3^3+...+n^3]=\bruch{1}{n^4}*[1^3+2^3+3^3+...+n^3] [/mm] $
Das ganze sieht nun schon sehr ansehnlich aus, doch für eine allgemeine Betrachtung hilft es uns jetzt nicht weiter, denn wir können die endlose Summe schlecht ausrechnen. Zum Glück gibt es jedoch für diese offenbar gesetzmäßige Folge eine allgemeine Vorschrift, eine Summenformel, die das Ergenis sozusagen zusammenfasst bzw. verallgemeinert. Genau diese Summenformel hast du angegeben, bzw, kannst du in einer Formelsammlung nachschlagen. Wir brauchen eine für eine Reihe natürlicher Zahlen mit dritter Potenz:
>
> Benötigte Summenformel:
> [mm]1^3+2^3+...+n^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
>
Da wir ebenfalls eine Reihe haben, die mit 1 beginnt und mit n endet, können wir die Formel 1 zu 1 übernehmen
$ [mm] Obersumme=\bruch{1}{n^4}*[\bruch{n^2(n+1)^2}{4}] [/mm] $
Hier könnte ich nun aufhören, aber ich will dennoch noch die letzten Schritte durchgehen, falls dort auch Fragen auftauchen!
Erstmal verallgemeinern wir noch zu ende
$ [mm] Obersumme=\bruch{1}{n^4}*[\bruch{n^2(n+1)^2}{4}]=\bruch{1}{n^4}*[\bruch{n^2(n^2+2n+1)}{4}]=\bruch{1}{n^4}*[\bruch{n^4+2n^3+n^2}{4}] [/mm] $
$ [mm] Obersumme=\bruch{n^4+2n^3+n^2}{4n^4} [/mm] $
Schließlich kürzen wir hier mit Absicht noch durch die höchste Potenz:
$ [mm] Obersumme=\bruch{1}{4}+\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{4n^2} [/mm] $
Was jetzt noch fehlt, ist der Grenzübergang für n gegen unendlich. Bisher ist n eine beliebiger Parameter, doch wir wollen ihn gegen unendlich gehen lassen, denn unser Ziel ist es ja, unendlich kleine Rechtecke zu erzeugen.
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{4}+\bruch{1}{2n}+\bruch{1}{4n^2})=\bruch{1}{4} [/mm] $
Denn wir sehen leicht, dass die hinteren Brüche mit n im Nenner 0 werden müssen, da die Zahl unendlich klein wird. Allein [mm] \bruch{1}{4} [/mm] bleibt als konstanter Faktor übrig und das ist dein gesuchter Flächeninhalt für [mm] x^3 [/mm] über dem Intervall [0;1]
Probe:
$ [mm] \integral_{0}^{1}{x^3 dx}=[\bruch{x^4}{4}]^{1}_0=\bruch{1}{4} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 So 09.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
Sehr vielen Dank
Somit ist das Verstehen mir viel leichter gefallen.
Viel Gruß
hasan
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