Parallele Tangenten an Funktio < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 06.03.2007 | | Autor: | Thorsten |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm] x^{3} [/mm] - 2x. Ermitteln Sie die von O(0/0) verschiedenen Schnittpunkte S und T des Graphen von f mit der Normalen in O (0/0). Zeigen Sie, dass die Tangenten in den Punkten S und T parallel sind. |
Hallo!
Bin auf diese Frage zwecks Vorbereitung einer Klausur gestoßen. Ehrlich gesagt fehlt mir jeglicher Ansatz. Klar ist, dass die Tangenten die gleiche Steigung haben müssen, da parallel. Weiterhin berühren beide den Graphen von f in einem Punkt. Also muss dieser Punkt bzw. die Punkte auch die gleiche Steigung haben. Hierzu kann ich die erste Ableitung von f(x) verwenden. Eine dritte Gerade wäre die Normale. Wenn die Funktionsgleichungen der Punkte S und T, bei unterschiedlichem y-Achsenabschnitt, beispielsweise die Steigung [mm] m_{t} [/mm] = 4 hätten, wäre die Steigung der Normalen [mm] m_{n} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}, [/mm] weil [mm] m_{n}*m_{t} [/mm] = -1.
Aber wie bekomme ich das alles unter einen Hut? Den Ursprung kann ich doch schlecht verwenden?! Oder bilden S und T eine Sekante zu f(x)??? Wäre nett, wenn Ihr schnell antworten könntet, da morgen die Klausur stattfindet 
Schon jetzt vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
Thorsten
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Hallo Thorsten!
Welche Steigung hat denn die Funktion $f(x)_$ im Ursprung?
Daraus kannst Du Dir doch die Normalensteigung ermitteln über [mm] $m_n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{f'(0)}$ [/mm] .
Da diese Normale (= Gerade) durch den Ursprung geht, hat sie die Gestalt $n(x) \ = \ [mm] m_n*x$ [/mm] .
Damit nun durch Gleichsetzen $n(x) \ = \ f(x)$ die weiteren Schnittpunkte ermitteln und die entsprechenden Tangentensteigungen vergleichen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 08.03.2007 | | Autor: | Thorsten |
Danke!!!
Dann müsste [mm] m_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein.
Somit n(x) = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] und [mm] m_{t} [/mm] = -2.
Ist das ok?
Gruß
Thorsten
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Hallo Thorsten!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:07 Do 08.03.2007 | | Autor: | Thorsten |
Nochmals DANKE!!!
Habe aber einen Fehler gemacht:
Die Steigung der Tangenten ist nicht -2. Dann würden die Tangenten ja die Normale im 90° Winkel schneiden. Ich musste die errechneten x-Werte aus [mm] n_{x} [/mm] = [mm] f_{x} [/mm] ja noch in die erste Ableitung von [mm] f_{x} [/mm] einsetzen, um die Steigung zu bestimmen.
Dann lautet die Steigung der Tangenten [mm] m_{t} [/mm] = 5,5.
Gruß
Thorsten
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