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| Aufgabe | Sei ein Ortsvektor gegeben durch [mm] \vec{r}=(x,y,z) [/mm] mit [mm] x=r\mbox{sin}\theta\mbox{cos\ensuremath{\phi}},\, y=r\mbox{sin}\theta\mbox{sin}\phi,\, z=r\mbox{cos}\theta. [/mm] Es seien folgende Vektoren definiert:
[mm] \vec{e}_{r}:=\partial_{r}\vec{r},\,\,\vec{e}_{\theta}:=\partial_{\text{\ensuremath{\theta}}}\vec{r},\,\,\vec{e}_{\phi}:=\partial_{\phi}\vec{r}. [/mm] Man bestimme das Volumen des durch die Vektoren [mm] \vec{e}_{r},\vec{e}_{\theta},\vec{e}_{\phi} [/mm] gebildeten Parallelepipeds. |
Hallo,
ich weiß, dass [mm] V=\mbox{det}(\vec{e}_{r},\vec{e}_{\theta},\vec{e}_{\phi}). [/mm] Dafür muss man dann erst diese definierten Vektoren ausrechnen.
Das komische bei mir ist, dass ich bei der Determinante am Ende rausbekomme [mm] V=r^{2}\mbox{sin}\theta, [/mm] wobei das dann ja eigentlich eine Fläche wäre.
Habe ich etwas falsch gemacht, oder muss da wirklich dieses Ergebnis rauskommen?
Ich kann ja mal noch meine Ableitungen aufschreiben:
[mm] \vec{e}_{r}&=(\mbox{sin}\theta\mbox{cos}\phi,\mbox{sin}\theta\mbox{sin}\phi,\mbox{cos}\theta)\\
[/mm]
[mm] \vec{e}_{\theta}&=(r\mbox{cos}\theta\mbox{cos}\phi,r\mbox{cos}\theta\mbox{sin}\phi,-r\mbox{sin}\theta)\\
[/mm]
[mm] \vec{e}_{\phi}&=(-r\mbox{sin}\theta\mbox{sin}\phi,r\mbox{sin}\theta\mbox{cos}\phi,0).
[/mm]
Ich bin mir recht sicher, dass ich die Determinante richtig ausgerechnet habe, deshalb lasse ich die Rechnung hier mal weg.
Ist irgendwo ein Fehler oder kommt als Ergebnis wirklich [mm] r^2 sin\theta [/mm] raus? Müsste ja eigentlich was mit ^3 rauskommen...?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Sa 08.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei ein Ortsvektor gegeben durch [mm]\vec{r}=(x,y,z)[/mm] mit
> [mm]x=r\mbox{sin}\theta\mbox{cos\ensuremath{\phi}},\, y=r\mbox{sin}\theta\mbox{sin}\phi,\, z=r\mbox{cos}\theta.[/mm]
> Es seien folgende Vektoren definiert:
>
> [mm]\vec{e}_{r}:=\partial_{r}\vec{r},\,\,\vec{e}_{\theta}:=\partial_{\text{\ensuremath{\theta}}}\vec{r},\,\,\vec{e}_{\phi}:=\partial_{\phi}\vec{r}.[/mm]
> Man bestimme das Volumen des durch die Vektoren
> [mm]\vec{e}_{r},\vec{e}_{\theta},\vec{e}_{\phi}[/mm] gebildeten
> Parallelepipeds.
>
> ich weiß, dass
> [mm]V=\mbox{det}(\vec{e}_{r},\vec{e}_{\theta},\vec{e}_{\phi}).[/mm]
> Dafür muss man dann erst diese definierten Vektoren
> ausrechnen.
Genau.
> Das komische bei mir ist, dass ich bei der Determinante am
> Ende rausbekomme [mm]V=r^{2}\mbox{sin}\theta,[/mm] wobei das dann ja
> eigentlich eine Fläche wäre.
Wieso? Nur weil da ein [mm] $r^2$ [/mm] anstelle eines [mm] $r^3$ [/mm] steht?
> Habe ich etwas falsch gemacht, oder muss da wirklich dieses
> Ergebnis rauskommen?
>
> Ich kann ja mal noch meine Ableitungen aufschreiben:
>
> [mm]\vec{e}_{r}&=(\mbox{sin}\theta\mbox{cos}\phi,\mbox{sin}\theta\mbox{sin}\phi,\mbox{cos}\theta)\\[/mm]
>
> [mm]\vec{e}_{\theta}&=(r\mbox{cos}\theta\mbox{cos}\phi,r\mbox{cos}\theta\mbox{sin}\phi,-r\mbox{sin}\theta)\\[/mm]
>
> [mm]\vec{e}_{\phi}&=(-r\mbox{sin}\theta\mbox{sin}\phi,r\mbox{sin}\theta\mbox{cos}\phi,0).[/mm]
>
> Ich bin mir recht sicher, dass ich die Determinante richtig
> ausgerechnet habe, deshalb lasse ich die Rechnung hier mal
> weg.
Kleine Nebenrechnung: [mm] $r^2 \cos \phi (\cos^3 \phi \sin \phi [/mm] + [mm] \cos \phi \sin^3 \phi) [/mm] + [mm] r^2 \sin \phi (\sin^2 \phi \cos^2 \phi [/mm] + [mm] \sin^4 \phi) [/mm] = [mm] r^2 \cos^2 \phi \sin \phi [/mm] + [mm] r^2 \sin^3 \phi [/mm] = [mm] r^2 \sin \phi$. [/mm] Ja, du hast richtig gerechnet (wenn ich auch richtig gerechnet hab).
> Ist irgendwo ein Fehler oder kommt als Ergebnis wirklich
> [mm]r^2 sin\theta[/mm] raus? Müsste ja eigentlich was mit ^3
> rauskommen...?
Das Ergebnis stimmt so. Wenn du dir deine drei Vektoren anschaust, siehst du ja auch dass nur zwei davon von $r$ abhaengen -- der dritte eben nicht. Deswegen haengt das Volumen von [mm] $r^2$ [/mm] ab.
LG Felix
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