www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Parallelisierbarkeit v. Man
Parallelisierbarkeit v. Man < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Parallelisierbarkeit v. Man: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Do 13.05.2010
Autor: GodspeedYou

Aufgabe
Sei M ein differenzierbare (C-unendlich) Mannigfaltigkeit der Dimension n
Zeige:
M ist parallelisierbar genau dann wenn TM zu M x [mm] \IR^{n} [/mm] difeomorph ist

Hallo,

die Hinrichtung (=>) konnte ich zeigen, bei der Rückrichtung bin ich bislang aber gescheitert.

Ich vermute, dass fuer die Rueckrichtung ebenfalls vorrauszusetzen ist, dass ein Difeomorphismus f existiert, der M x [mm] \IR^{n} [/mm] in kanonischer Weise auf TM abbildet, d.h. dass f.a. (x,y) [mm] \in [/mm] M x [mm] \IR^{n} [/mm] gilt, dass f(x,y) [mm] \in T_{x} [/mm] M liegt (sonst sehe ich überhaupt nicht, wie die Vektorfelder definiert werden könnten)

Sofern dies erfüllt ist, wäre meine Idee, die Vektorfelder wie folgt zu definieren:
-Zu x [mm] \in [/mm] M fixiere eine Basis [mm] {v_{1x}, ... , v_{nx}} [/mm] von [mm] T_{x} [/mm] M
-Definiere [mm] X_{i}(x) [/mm] := [mm] f(x,f^{-1}(v_{ix})) [/mm]

Die [mm] X_{i}(x) [/mm] bilden dann immer eine Basis, aber ich weiss nicht, wie man zeigen könnte, dass die [mm] X_{i} [/mm] auch differenzierbar sind.

Danke fuer alle Antworten.







Ich habe diese Frage in keinem weiterem Forum gestellt.

        
Bezug
Parallelisierbarkeit v. Man: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:25 Do 13.05.2010
Autor: SEcki


> die Hinrichtung (=>) konnte ich zeigen, bei der
> Rückrichtung bin ich bislang aber gescheitert.

Hehe, ich kenne obige Äquivalenz als Definition des Begriffs :)

> Ich vermute, dass fuer die Rueckrichtung ebenfalls
> vorrauszusetzen ist, dass ein Difeomorphismus f existiert,
> der M x [mm]\IR^{n}[/mm] in kanonischer Weise auf TM abbildet, d.h.
> dass f.a. (x,y) [mm]\in[/mm] M x [mm]\IR^{n}[/mm] gilt, dass f(x,y) [mm]\in T_{x}[/mm]
> M liegt (sonst sehe ich überhaupt nicht, wie die
> Vektorfelder definiert werden könnten)

Ja, es ist ein Vektorbündel-Isomorphismus gemeint (also ziemlich sicher, ich glaube sonst gibt es wohl Gegenbeispiele, aber da lege ich nicht die Hand ins Feuer)

> Sofern dies erfüllt ist, wäre meine Idee, die
> Vektorfelder wie folgt zu definieren:
>  -Zu x [mm]\in[/mm] M fixiere eine Basis [mm]{v_{1x}, ... , v_{nx}}[/mm] von
> [mm]T_{x}[/mm] M
>  -Definiere [mm]X_{i}(x)[/mm] := [mm]f(x,f^{-1}(v_{ix}))[/mm]

Und wieso hängt das ganze glatt von der Wahl von x ab? Vergiss das f und nehme an, der Tangentialraum "ist" [m]M\times \IR^n[/m].

> Die [mm]X_{i}(x)[/mm] bilden dann immer eine Basis, aber ich weiss
> nicht, wie man zeigen könnte, dass die [mm]X_{i}[/mm] auch
> differenzierbar sind.

Finde ich auch komsich, was du da machst. Jedenfalls ist zB [m]M\to M\times \IR^n,x\mapsto (x,e_1)[/m] ein glatter Schnitt ...

SEcki

Bezug
                
Bezug
Parallelisierbarkeit v. Man: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Fr 14.05.2010
Autor: GodspeedYou

Hm, was genau ist ein Vektorbündel-Isomorphismus? Der Begriff ist in der Vorlesung nie gefallen (und Kategorientheorie kam auch nicht vor, falls das relevant ist).

Jedenfalls war bei uns eine parralelisierbare Mannigfaltigkeit als eine solche definiert, die der Dimension entsprechend viele ( global definierte) Vektorfelder zulässt, deren Bilder (f.a. x) in [mm] T_{x}M [/mm] unabhängig sind, d.h. f.a. x spannt [mm] {X_{1}(x), ... , X_{n}(x)} [/mm] den Tangentialraum [mm] T_{x}M [/mm] auf.
Und Vektorfelder waren als differenzierbare Abbildungen in das Tangentialbündel TM, wobei X(z) in [mm] T_{z} [/mm] M liegen soll (f.a. z [mm] \in [/mm] M), definiert.



Bezug
                        
Bezug
Parallelisierbarkeit v. Man: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Fr 14.05.2010
Autor: SEcki


> Hm, was genau ist ein Vektorbündel-Isomorphismus? Der
> Begriff ist in der Vorlesung nie gefallen (und
> Kategorientheorie kam auch nicht vor, falls das relevant
> ist).

Schaue mal bei "Morphismen" []in der englischen Wiki.

> Jedenfalls war bei uns eine parralelisierbare
> Mannigfaltigkeit als eine solche definiert, die der
> Dimension entsprechend viele ( global definierte)
> Vektorfelder zulässt,

Ja, war mir dann auch klar, wie ihr das definiert habt. Ich habe dir von der Trivialisierung ausgehend aber zu mindest mal ein Vektorfeld hingeschrieben, dass du leicht zu n verschiedenen Vf aufstocken kannst.

SEcki

Bezug
                                
Bezug
Parallelisierbarkeit v. Man: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 So 16.05.2010
Autor: GodspeedYou

Ok, danke - jetzt kapier ichs - mir war nicht klar, dass man fuer Vektorbuendel-Isomorphismen fordert, dass sie lineare Abbildungen zw. den Tangentialräumen induzieren.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de