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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Parallelität von Ebenen
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Parallelität von Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Do 24.02.2011
Autor: Palme

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F zueinander parallel sind

E:4x1+3x2-12x3=25
F:-4x1-3x2+12x3=14

Hallo ,

muss ich hier das Skalarprodukt der Normalenvektoren bestimmen ?

Falls ja kann mir vielleicht jemand erklären wie  der Zusammenhang ist ?

gruß Palme

        
Bezug
Parallelität von Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Do 24.02.2011
Autor: angela.h.b.

Hallo,

zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
Parallelität von Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Do 24.02.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F zueinander parallel
> sind
>  
> E:4x1+3x2-12x3=25
>  F:-4x1-3x2+12x3=14
>   Hallo ,
>
> muss ich hier das Skalarprodukt der Normalenvektoren
> bestimmen ?

nein.

> Falls ja kann mir vielleicht jemand erklären wie  der
> Zusammenhang ist ?

Siehe Angelas Hinweis. Beachte allerdings, dass Du die Normalenvektoren direkt aus den Ebenengleichungen ablesen kannst.

Du kannst nämlich
[mm] $$E:\;\;\blue{4}x_1+\blue{3}x_2+\blue{(-12)}x_3=25$$ [/mm]
schreiben als
[mm] $$E:\;\;\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\bullet \blue{\vektor{4\\3\\-12}} [/mm] - [mm] \vektor{p_1\\p_2\\p_3} \bullet \blue{\vektor{4\\3\\-12}}=0$$ [/mm]
mit einem Punkt [mm] $(p_1,p_2,p_3)$ [/mm] der Ebene (z.B. kannst Du [mm] $p_1=p_2=0$ [/mm] setzen und erhältst dann aus der Ebenengleichung
[mm] $$4*0+3*0-12*p_3=25$$ [/mm]
sofort
[mm] $$p_3=-25/12\,,$$ [/mm]
also
[mm] $$\vektor{p_1\\p_2\\p_3}=\vektor{0\\0\\-25/12}$$ [/mm]
wählen).

Aber einen Vektor [mm] $\vektor{p_1\\p_2\\p_3}$ [/mm] braucht man dabei gar nicht konkret anzugeben (man kann es aber machen, wenn man will).
Warum man das so machen kann:
Vgl. etwa []Normalgleichung einer Ebene und beachte, dass gerade das Skalarprodukt
[mm] $$\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \bullet \blue{\vektor{n_1\\n_2\\n_3}}$$ [/mm]
nichts anderes ist als
[mm] $$\blue{n_1}x_1+\blue{n_2}x_2+\blue{n_3}x_3\,.$$ [/mm]
Es gilt also

[mm] $$\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \bullet \blue{\vektor{n_1\\n_2\\n_3}}=\blue{n_1}x_1+\blue{n_2}x_2+\blue{n_3}x_3\\,.$$ [/mm]

Daher weißt Du:
Der Vektor  
[mm] $$\blue{\vektor{4\\3\\-12}}$$ [/mm]
steht senkrecht auf [mm] $E\,,$ [/mm] und der Vektor  
[mm] $$\blue{\vektor{-4\\-3\\+12}}$$ [/mm]
steht senkrecht auf [mm] $F\,.$ [/mm]

Die beiden Ebenen sind folglich in der Tat parallel (wobei auch Gleichheit erlaubt ist). (Rechnerische Begründung?)

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Parallelität von Ebenen: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Fr 25.02.2011
Autor: franky55

Du hast also:

E: [mm] 4x_1+3x_2-12x_3=25 [/mm]

Ein Normalvektor der Ebene E ist [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -12 \end{pmatrix} [/mm]

Die Gleichung der Ebene F lautet:

F: [mm] -4x_1-3x_2+12x_3=14 [/mm]

Wenn du diese Gleichung mit (-1) multiplizierst, dann erhältst du:

F: [mm] 4x_1+3x_2-12x_3=-14 [/mm]

Ein Normalvektor der Ebene F ist ebenfalls [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -12 \end{pmatrix} [/mm]

Beide Normalvektoren sind identisch, d.h. sie liegen parallel zueinander.
Daher müssen auch die beiden Ebenen E und F parallel zueinander liegen.
E und F sind nicht identisch, da auf den rechten Seiten der Gleichungen unterschiedliche Zahlenwerte stehen (25[mm] \ne [/mm]-14).
Schöne Grüße

Bezug
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