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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Die Punkte A, B, C, D sind die Eckpunkte eines Parallelogramms. [mm] M_1 [/mm] ist der Mittelpunkt der Seite AB und [mm] M_2 [/mm] ist der Mittelpunkt der Seite BC.
[mm] T_1 [/mm] ist der Schnittpunkt der Diagonalen AC mit der Strecke [mm] DM_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] ist der Schnittpunkt der Diagonalen AC mit der Stercke [mm] DM_2. [/mm]
Zeigen Sie, dass die Diagonale AC durch die Punkte [mm] T_1, T_2 [/mm] in drei gleiche Teile zerlegt wird.
A(0|0|0)
B(3|0|6)
C(1|6|2) |
Hallo.
Diese Aufgabe bereitet mir so starkes Kopfzerbrechen und macht mich langsam irgendwie fertig.
Also nehme ich die Aufgabe mal ganz langsam auseinander:
"Die Punkte A, B, C, D sind die Eckpunkte eines Parallelogramms"
A,B,C ist gegeben.
[mm] \vec{a}=\overline{AB} [/mm] = [mm] \vektor{3\\0\\6}
[/mm]
[mm] \overline{0D} [/mm] = [mm] \overline{0C}+\vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1+3\\6+0\\2+6} [/mm] = [mm] \vektor{4\\6\\8}
[/mm]
" [mm] M_1 [/mm] ist der Mittelpunkt der Seite AB"
[mm] M_1 [/mm] = 0,5 * [mm] (\vec{0A}+\vec{0B}) [/mm] = [mm] \vektor{1,5\\0\\3}
[/mm]
[mm] "M_2 [/mm] ist der Mittelpunkt der Seite BC"
[mm] M_2 [/mm] = 0,5 * [mm] (\vec{0B}+\vec{0C}) [/mm] = [mm] \vektor{2\\3\\4}
[/mm]
[mm] "T_1 [/mm] ist der Schnittpunkt der Diagonalen AC mit der Strecke [mm] DM_1"
[/mm]
Hier ist die Stelle, an der ich misstrauisch werde
zunächst stelle ich mal die gerade für AC auf
[mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + t [mm] \vektor{1\\6\\2}
[/mm]
für die zweite, nenne wir sie [mm] d(DM_1)
[/mm]
[mm] d:\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0D}+s\vec{DM_1}
[/mm]
[mm] d:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4\\6\\8} [/mm] + t [mm] \vektor{-2,5\\-6\\-5}
[/mm]
Editiert: Die Geraden schneiden sich und ich habe nun als Eregbnis, das muss nicht nachgerechnet werden, ich sehe es ja, wenn ich die Aufgabe erfülle.
[mm] T_1(-1|-6|-2)
[/mm]
[mm] T_2(0|0|0)
[/mm]
Wie zeige ich nun, dass sie die Diagonale AC in drei gleichlange Teile aufsplittet?
Ich habe als Ansatz für zwei Teile
[mm] |\vec{T_2C}| [/mm] = [mm] \wurzel{41}
[/mm]
[mm] |\vec{T_2T_1}| [/mm] = [mm] \wurzel{41}
[/mm]
Fehlt noch einer.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Phoney,
> Die Punkte A, B, C, D sind die Eckpunkte eines
> Parallelogramms. [mm]M_1[/mm] ist der Mittelpunkt der Seite AB und
> [mm]M_2[/mm] ist der Mittelpunkt der Seite BC.
> [mm]T_1[/mm] ist der Schnittpunkt der Diagonalen AC mit der Strecke
> [mm]DM_1[/mm] und [mm]T_2[/mm] ist der Schnittpunkt der Diagonalen AC mit der
> Stercke [mm]DM_2.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Diagonale AC durch die Punkte [mm]T_1, T_2[/mm]
> in drei gleiche Teile zerlegt wird.
> A(0|0|0)
> B(3|0|6)
> C(1|6|2)
> Hallo.
> Diese Aufgabe bereitet mir so starkes Kopfzerbrechen und
> macht mich langsam irgendwie fertig.
>
> Also nehme ich die Aufgabe mal ganz langsam auseinander:
> "Die Punkte A, B, C, D sind die Eckpunkte eines
> Parallelogramms"
>
> A,B,C ist gegeben.
>
> [mm]\vec{a}=\overline{AB}[/mm] = [mm]\vektor{3\\0\\6}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\overline{0D}[/mm] = [mm]\overline{0C}+\vec{a}[/mm] =
> [mm]\vektor{1+3\\6+0\\2+6}[/mm] = [mm]\vektor{4\\6\\8}[/mm]
Hier ist dir ein für dich ärgerlicher Flüchtigkeitsfehler unterlaufen.
Es ist
[mm]\vec{0D}[/mm] = [mm]\vec{0C}-\vec{a}[/mm]
[mm]\vec{AB}[/mm] und [mm]\vec{DC}[/mm] sind gleich
>
> " [mm]M_1[/mm] ist der Mittelpunkt der Seite AB"
>
> [mm]M_1[/mm] = 0,5 * [mm](\vec{0A}+\vec{0B})[/mm] = [mm]\vektor{1,5\\0\\3}[/mm]
>
> [mm]"M_2[/mm] ist der Mittelpunkt der Seite BC"
>
> [mm]M_2[/mm] = 0,5 * [mm](\vec{0B}+\vec{0C})[/mm] = [mm]\vektor{2\\3\\4}[/mm]
>
> [mm]"T_1[/mm] ist der Schnittpunkt der Diagonalen AC mit der Strecke
> [mm]DM_1"[/mm]
>
> Hier ist die Stelle, an der ich misstrauisch werde
> zunächst stelle ich mal die gerade für AC auf
>
> [mm]g:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm] + t [mm]\vektor{1\\6\\2}[/mm]
>
> für die zweite, nenne wir sie [mm]d(DM_1)[/mm]
>
> [mm]d:\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{0D}+s\vec{DM_1}[/mm]
>
> [mm]d:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{4\\6\\8}[/mm] + t [mm]\vektor{-2,5\\-6\\-5}[/mm]
>
> Editiert: Die Geraden schneiden sich und ich habe nun als
> Eregbnis, das muss nicht nachgerechnet werden, ich sehe es
> ja, wenn ich die Aufgabe erfülle.
>
> [mm]T_1(-1|-6|-2)[/mm]
> [mm]T_2(0|0|0)[/mm]
Das Ergebnis für [mm] T_2 [/mm] widerspricht der Dreiteilung. Die Ursache liegt ziemlich sicher nur an obigem Fehler. Ich hab's aber nicht durchgerechnet.
Gruß
Sigrid
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Sigrid.
> > [mm]\overline{0D}[/mm] = [mm]\overline{0C}+\vec{a}[/mm] =
> > [mm]\vektor{1+3\\6+0\\2+6}[/mm] = [mm]\vektor{4\\6\\8}[/mm]
>
> Hier ist dir ein für dich ärgerlicher Flüchtigkeitsfehler
> unterlaufen.
>
> Es ist
> [mm]\vec{0D}[/mm] = [mm]\vec{0C}-\vec{a}[/mm]
>
> [mm]\vec{AB}[/mm] und [mm]\vec{DC}[/mm] sind gleich
>
Das heißt, der richtige Punkt für D wäre
[mm] \vektor{1-3\\6-0\\2-6} [/mm] = [mm] \vektor{-2\\6\\-4}
[/mm]
??
Warum darf ich den nicht dazu addieren?
Also jetzt bin ich vollkommen verwirrt.
Also mein Punkt D war ja D(4|6|8); C(1|6|2)
[mm] \overline{CD} [/mm] = [mm] \vektor{3\\0\\6}
[/mm]
[mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \vektor{3\\0\\6}
[/mm]
Sie sind gleich!
Wäre mein Punkt [mm] D_2 [/mm] (gerade neu errechnet und nachgefragt, ob du das meintest)
[mm] \vec{d}=\vektor{-2\\6\\-4} [/mm] =
Dann ergibt sich für [mm] \overline{DC} =\vektor{1-(-2)\\6-6\\2-(-4)} [/mm] = [mm] \vektor{3\\0\\6}
[/mm]
Eine Pattsituation! Was heißt das jetzt? Auch hier sind sie gleich.
> > [mm]T_1(-1|-6|-2)[/mm]
> > [mm]T_2(0|0|0)[/mm]
>
> Das Ergebnis für [mm]T_2[/mm] widerspricht der Dreiteilung. Die
> Ursache liegt ziemlich sicher nur an obigem Fehler. Ich
> hab's aber nicht durchgerechnet.
Dann muss [mm] T_1 [/mm] aber auch schon falsch sein, weil ich Punkt D ja falsch berechnet habe.
Kannst du vielleicht noch einmal eine kleine Erklärung abgeben, warum man subtrahiert und nicht addiert?
Grüße
Phoney
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Hallo!
> > > [mm]\overline{0D}[/mm] = [mm]\overline{0C}+\vec{a}[/mm] =
> > > [mm]\vektor{1+3\\6+0\\2+6}[/mm] = [mm]\vektor{4\\6\\8}[/mm]
> >
> > Hier ist dir ein für dich ärgerlicher Flüchtigkeitsfehler
> > unterlaufen.
> >
> > Es ist
> > [mm]\vec{0D}[/mm] = [mm]\vec{0C}-\vec{a}[/mm]
> >
> > [mm]\vec{AB}[/mm] und [mm]\vec{DC}[/mm] sind gleich
> >
>
> Das heißt, der richtige Punkt für D wäre
>
> [mm]\vektor{1-3\\6-0\\2-6}[/mm] = [mm]\vektor{-2\\6\\-4}[/mm]
>
> ??
>
> Warum darf ich den nicht dazu addieren?
Ich habe es dir mal aufgezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Ohne auf die Punkte zu achten, habe nur ein Parallelogramm gezeichnet, und die Punkte mit A, B, C und D bezeichnet.) Sieh dir mal an, was [mm] \vec{0C}+\vec{a} [/mm] ist. Das ist das, was ich orange eingezeichnet habe. Da wärst du ganz schön aus dem Parallelogramm draußen.  Weißt du, wie man Vektoren subtrahier? Also zeichnerisch? Dann mach das mal. Oder sieh dir an, wie ich [mm] \vec{0C}+(-\vec{a})=\vec{0C}-\vec{a} [/mm] gezeichnet habe. Du siehst, dass du dann genau auf den richtigen Punkt D kommst. Dein Problem war wohl, dass du Vektoren nicht richtig addieren bzw. subtrahieren kannst, also zeichnerisch.
> Also jetzt bin ich vollkommen verwirrt.
>
> Also mein Punkt D war ja D(4|6|8); C(1|6|2)
>
> [mm]\overline{CD}[/mm] = [mm]\vektor{3\\0\\6}[/mm]
>
> [mm]\overline{AB}[/mm] = [mm]\vektor{3\\0\\6}[/mm]
>
> Sie sind gleich!
>
> Wäre mein Punkt [mm]D_2[/mm] (gerade neu errechnet und nachgefragt,
> ob du das meintest)
> [mm]\vec{d}=\vektor{-2\\6\\-4}[/mm] =
>
> Dann ergibt sich für [mm]\overline{DC} =\vektor{1-(-2)\\6-6\\2-(-4)}[/mm]
> = [mm]\vektor{3\\0\\6}[/mm]
>
> Eine Pattsituation! Was heißt das jetzt? Auch hier sind sie
> gleich.
Nein! Im ersten Fall gilt [mm] \vec{AB}=\vec{CD}, [/mm] im zweiten Fall gilt aber [mm] \vec{AB}=\vec{DC} [/mm] - das ist ein Unterschied!!! Natürlich sind die Beträge jeweils gleich, also es gilt [mm] |\vec{CD}|=|\vec{DC}|, [/mm] aber die Vektoren sind unterschiedlich!
> > > [mm]T_1(-1|-6|-2)[/mm]
> > > [mm]T_2(0|0|0)[/mm]
> >
> > Das Ergebnis für [mm]T_2[/mm] widerspricht der Dreiteilung. Die
> > Ursache liegt ziemlich sicher nur an obigem Fehler. Ich
> > hab's aber nicht durchgerechnet.
>
> Dann muss [mm]T_1[/mm] aber auch schon falsch sein, weil ich Punkt D
> ja falsch berechnet habe.
>
> Kannst du vielleicht noch einmal eine kleine Erklärung
> abgeben, warum man subtrahiert und nicht addiert?
Hat das geholfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Di 28.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Moin.
> > Warum darf ich den nicht dazu addieren?
>
> Ich habe es dir mal aufgezeichnet:
>
>
> (Ohne auf die Punkte zu achten, habe nur ein Parallelogramm
> gezeichnet, und die Punkte mit A, B, C und D bezeichnet.)
> Sieh dir mal an, was [mm]\vec{0C}+\vec{a}[/mm] ist. Das ist das, was
> ich orange eingezeichnet habe. Da wärst du ganz schön aus
> dem Parallelogramm draußen. Weißt du, wie man Vektoren
> subtrahier? Also zeichnerisch? Dann mach das mal. Oder sieh
> dir an, wie ich [mm]\vec{0C}+(-\vec{a})=\vec{0C}-\vec{a}[/mm]
> gezeichnet habe. Du siehst, dass du dann genau auf den
Jo, sehr vielen dank dafür!!!! Das war eine richtig tolle Zeichnung, klasse!
> richtigen Punkt D kommst. Dein Problem war wohl, dass du
> Vektoren nicht richtig addieren bzw. subtrahieren kannst,
> also zeichnerisch.
Wo du Recht hast...
Nochmals, vielen dank für diese überragende Antwort!
Gruß
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