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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 So 20.04.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Guten Tag.Ich bin grad am herumrechnen und komm bei einer Aufgabe nicht weiter. |
Aufagbe:
Durch zwei Vektoren [mm] a_1=\vektor{a_1,1 \\ a_2,1} [/mm] und [mm] a_2=\vektor{a_1,2\\ a_2,2} [/mm] wir ein Parallelogramm gespannt im [mm] {\IR}^{2} [/mm] aufgespannt.Beide Vektoren schließen den winkel [mm] \alpha \le [/mm] 90 Grad ein.
Zeigen Sie, dass für sein Fläche F gilt: [mm] F=\vmat{det\pmat{ a_1,1& a_1,2 \\a_2,1 & a_2,2 }}.
[/mm]
Hinweis:Begründen sie zuerst , dass [mm] F=||a_1||*||a_2||*sin( \alpha [/mm] )gilt, udn berechnen Sie cos( [mm] \alpha [/mm] ) mit Hilfe des Skalarproduktes [mm] .
[/mm]
Ich schreib mal alles auf, was ich mir schon überlegt habe:
Parallelogrammgleichung:
[mm] {||a+b||}^{2}+{||a-b||}^{2}=2{||a|}^{2}+2{||b||}^{2}
[/mm]
cos [mm] (\alpha)= \bruch {}{||a_1||*||a_2||}=\bruch {a_1,1+a_1,2+a_2,1+a_2,2}{\wurzel{a_1,1,*a_1,2}* \wurzel{a_2,1*a,2,2}}
[/mm]
[mm] a_1 [/mm] steht für den Vektor [mm] a_1
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] steht für den Vektor [mm] a_2
[/mm]
[mm] a_1*a_2=||a_1||*||a_2||*cos(\alpha)
[/mm]
[mm] F=||a_1||*||a_2||*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] {F}^{2}={||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}*{sin(\alpha)}^{2}
[/mm]
[mm] {F}^{2}={|a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}*(1-{cos(\alpha)}^{2})
[/mm]
[mm] {F}^{2}={||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}-{||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}*\bruch{{(a_1*a_2)}^{2}}{{||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}}
[/mm]
[mm] {F}^{2}={F}^{2}={||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}-{(a_1*a_2)}^{2}
[/mm]
[mm] F=\wurzel{{||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}-{(a_1*a_2)}^{2}}
[/mm]
Jetzt muss ich nur noch zeigen:
[mm] F=\wurzel{{||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}-{(a_1*a_2)}^{2}}=|det(a_1,a_2)|=|a_1,1*a_2,2-a_1,2*a_2,1)|
[/mm]
Ab hier weiß ich nicht mehr weiter.Ich kann die Gleicheit nicht sehen.
Danke für rat
matheja
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Hallo matheja,
> Guten Tag.Ich bin grad am herumrechnen und komm bei einer
> Aufgabe nicht weiter.
> Aufagbe:
> Durch zwei Vektoren [mm]a_1=\vektor{a_1,1 \\ a_2,1}[/mm] und
> [mm]a_2=\vektor{a_1,2\\ a_2,2}[/mm] wir ein Parallelogramm gespannt
> im [mm]{\IR}^{2}[/mm] aufgespannt.Beide Vektoren schließen den
> winkel [mm]\alpha \le[/mm] 90 Grad ein.
> Zeigen Sie, dass für sein Fläche F gilt: [mm]F=\vmat{det\pmat{ a_1,1& a_1,2 \\a_2,1 & a_2,2 }}.[/mm]
>
> Hinweis:Begründen sie zuerst , dass [mm]F=||a_1||*||a_2||*sin( \alpha[/mm]
> )gilt, udn berechnen Sie cos( [mm]\alpha[/mm] ) mit Hilfe des
> Skalarproduktes [mm].[/mm]
>
>
> Ich schreib mal alles auf, was ich mir schon überlegt
> habe:
> Parallelogrammgleichung:
> [mm]{||a+b||}^{2}+{||a-b||}^{2}=2{||a|}^{2}+2{||b||}^{2}[/mm]
>
> cos [mm](\alpha)= \bruch {}{||a_1||*||a_2||}=\bruch {a_1,1+a_1,2+a_2,1+a_2,2}{\wurzel{a_1,1,*a_1,2}* \wurzel{a_2,1*a,2,2}}[/mm]
>
> [mm]a_1[/mm] steht für den Vektor [mm]a_1[/mm]
> [mm]a_2[/mm] steht für den Vektor [mm]a_2[/mm]
>
> [mm]a_1*a_2=||a_1||*||a_2||*cos(\alpha)[/mm]
> [mm]F=||a_1||*||a_2||*sin(\alpha)[/mm]
> [mm]{F}^{2}={||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}*{sin(\alpha)}^{2}[/mm]
> [mm]{F}^{2}={|a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}*(1-{cos(\alpha)}^{2})[/mm]
>
> [mm]{F}^{2}={||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}-{||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}*\bruch{{(a_1*a_2)}^{2}}{{||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}}[/mm]
>
> [mm]{F}^{2}={F}^{2}={||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}-{(a_1*a_2)}^{2}[/mm]
> [mm]F=\wurzel{{||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}-{(a_1*a_2)}^{2}}[/mm]
>
> Jetzt muss ich nur noch zeigen:
>
> [mm]F=\wurzel{{||a_1||}^{2}*{||a_2||}^{2}-{(a_1*a_2)}^{2}}=|det(a_1,a_2)|=|a_1,1*a_2,2-a_1,2*a_2,1)|[/mm]
>
>
> Ab hier weiß ich nicht mehr weiter.Ich kann die Gleicheit
> nicht sehen.
>
Der Ausdruck unter der Wurzel muss ausmultipliziert werden,
um die Gleichheit zu sehen.
>
> Danke für rat
>
> matheja
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 20.04.2008 | | Autor: | matheja |
Ja Danke.Jetzt sehe ich es auch:)
gruß
matheja
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