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Forum "Integralrechnung" - Parameter unter Fläche
Parameter unter Fläche < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Parameter unter Fläche: kleine Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Sa 29.04.2017
Autor: staytuned

Aufgabe
Wie muss der Parameter p > 0 gewählt werden, damit die von der x-Achse und dem Graphen von f eingeschlossene Fläche den Inhalt A hat?

a) f(x) = -4x² + p² , A=18

Hallo liebe Community,
zwar bin ich nur im GK, aber Mathe gehört zu meinen Lieblingsfächern. Hier habe ich ein Problem, mit einer freiwilligen Aufgabe, die wir so noch nie im Unterricht behandelt haben.

Ich habe schon Schwierigkeiten die richtige Methode für die Bestimmung der Integrationsgrenzen anzuwenden.

Lösungsansatz:

f(x) = -4x² + p²  | :(-4)
      = x² - [mm] \bruch{1}{4}p^{2} [/mm]

[mm] x_{1/2}= \bruch{1}{2} \bruch{+}{-} \wurzel{(-\bruch{1}{8})^{2} + \bruch{1}{4}} [/mm]

[mm] x_{1} [/mm] = 0,01 ; [mm] x_{1} [/mm] = 1,01

Mein Gefühl sagt mir, dass irgendwas nicht stimmt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

Gruß Luca

        
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Parameter unter Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Sa 29.04.2017
Autor: fred97

Wie lauten die lösungen einer gleichung der Form [mm] x^2=c^2, [/mm] wobei c positiv ist ?

(oben hast du ganz mächtig die lösungsformel für quadratische gleichungen missbraucht)



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Parameter unter Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Sa 29.04.2017
Autor: staytuned

Hallo Fred,

schonmal vielen Dank für die schnelle Antwort. :)

Ich habe gerade in meinen Unterlagen nachgeschaut und bei Google rechachiert, kann jedoch nichts dazu finden oder irgendeine Analogie bilden.

Es würde mir schon reichen, wenn du mir das spezifische Thema deiner Aufgabenstellung nennst. Dann werde ich mir das nochmal anschauen oder aneignen, da ich mich nicht daran erinnern kann diese Form der Aufgaben im Unterricht behandelt zu haben.

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Parameter unter Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Sa 29.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> schonmal vielen Dank für die schnelle Antwort. :)

>

> Ich habe gerade in meinen Unterlagen nachgeschaut und bei
> Google rechachiert, kann jedoch nichts dazu finden oder
> irgendeine Analogie bilden.

Das ist Stoff aus Klasse 8, da braucht man keine Unterlagen oder Google...

Die Gleichung

[mm] x^2=c [/mm]

besitzt für positive c die beiden Lösungen

[mm] x_{1,2}=\pm\wurzel{c} [/mm]


Gruß, Diophant

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Parameter unter Fläche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Sa 29.04.2017
Autor: staytuned

Das ist natürlich peinlich.
Danke Diophant! Ich hole mein Abitur auf dem 2. Bildungsweg nach und einige Themen sind wohl zu schnell an mir vorbei gegangen.

Wenn ich das Ganze jetzt anwende sieht das bei mir so aus:

-4x² + [mm] p^{2} [/mm] = 0
-4x² = [mm] p^{2} [/mm]
x²   = - [mm] \bruch{1}{4} p^{2} [/mm]
x = 0,5p

[mm] x_{1} [/mm] = 0 [mm] x_{2}= [/mm] 0,5p

Ist das so richtig und müsste ich im nächsten Schritt ganz normal Integrieren?

[mm] \integral_{0}^{0,5p}{f(x)= -4x^{2}+p^{2} dx} [/mm] = [- [mm] \bruch{4}{3}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}p^{3}] [/mm]

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Parameter unter Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Sa 29.04.2017
Autor: leduart

Hallo
2 Fehler
1. [mm] x^2=+p^2/4 [/mm]
dann x=0 ist keine Lösung, aber x=-0,5 und x=+0,5
dei Fläche kannst du trotzdem zwischen 0 und 0,5 ausrechen, das ist dann genau die Hälfte als 9 statt 18
p ist eine Konstante, das Integral ist also nicht [mm] p^3/3 [/mm]
was integral cdx ist solltest du wissen.
Gruß leduartt

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Parameter unter Fläche: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Sa 29.04.2017
Autor: fred97


> Hallo
>  2 Fehler
>  1. [mm]x^2=+p^2/4[/mm]
>  dann x=0 ist keine Lösung, aber x=-0,5 und x=+0,5

so ? mir fehlt da einiges  an p


>  dei Fläche kannst du trotzdem zwischen 0 und 0,5
> ausrechen, das ist dann genau die Hälfte als 9 statt 18
>  p ist eine Konstante, das Integral ist also nicht [mm]p^3/3[/mm]
> was integral cdx ist solltest du wissen.
>  Gruß leduartt


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Parameter unter Fläche: Vollständige Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 So 30.04.2017
Autor: Diophant

Hallo,

nachdem wir deine Situation bei unseren Antworten offensichtlich falsch eingeschätzt hatten (um dies zu vermeiden gibt es die Möglichkeit, im eigenen Profil etwas dazu zu schreiben), und nachdem eine Antwort völlig falsch war, möchte ich dir hier eine Musterlösung der Aufgabe geben:

a) Nullstellen von f

[mm]\begin{aligned} f(x)=0 \gdw -4x^2+p^2&=0\\ \gdw -4x^2&=-p^2\\ \gdw x^2&=\frac{p^2}{4}\\ \Rightarrow x_{1,2}&=\pm\frac{p}{2} \end{aligned}[/mm]

Dies sind die Nullstellen, eine Erläuterung für diese Rechnung habe ich in meiner anderen Antwort gegeben.

b) Fläche in Abhängigkeit von p

Wie von leduart vorgeschlagen, nutzen wir die Achsensymmetrie zur y-Achse der vorliegenden Parabel aus. Ich integriere über das halbe Intervall und korrigiere das durch einen Faktor 2 vor dem Integral:

[mm]\begin{aligned} A(p)&= 2*\int_{0}^{p/2}{\left(-4x^2+p^2\right) dx}\\ &= 2*\left [ -\frac{4}{3}x^3+p^2x \right ]_0^{p/2}\\ &=2*\left[\left ( -\frac{4}{3}*\frac{p^3}{8}+\frac{p^3}{2} \right )-0\right]\\ &=\frac{2}{3}p^3 \end{aligned}[/mm]

c) Berechnug von p

Gefordert ist A(p)=18, und der Rest ist jetzt einfach:

[mm]\begin{aligned} A(p)=18 \gdw \frac{2}{3}p^3&=18\\ \gdw p^3&=27\\ \Rightarrow p&= \sqrt[3]{27}=3 \end{aligned}[/mm]

Kannst du alles nachvollziehen? Falls nein, frage gerne wieder nach.


Gruß, Diophant

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Parameter unter Fläche: letzte Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Mo 01.05.2017
Autor: staytuned

Hallo Diophant,

vielen lieben Dank für die Zeit und deine Mühe die Aufgabe so detailliert zu erläutern.
Im nachhienein sieht immer alles verständlich aus.

Eine letzte Frage stellt sich mir jedoch noch.

Ich habe zum Vergleich die ursprünglichen Integrationsgrenzen von [mm] x_{1}=-0,5p [/mm] und [mm] x_{2}=0,5p [/mm] eingesetzt und komme zu einem anderen Ergebnis.



b) Fläche in Abhängigkeit von p

A(p) = [mm] \integral_{-0,5p}^{0,5p}{(-4x^{2}+p^{2}) dx} [/mm]
       = [mm] [-\bruch{4}{3}x^{3}+p^{2}x] [/mm]
       = [mm] 0,3\overlin{3}p^{3} [/mm] + [mm] 0,67p^{3} [/mm]
       = [mm] 1p^{3} [/mm]


Ziehe ich die 3. Wurzel aus A(p)=18, so ist mein Ergebnis:

p=2,62

Was unterscheidet meinen Weg von deinem? Es müsste doch eigentlich auf das gleiche Ergebnis hinauslaufen, da das Intervall immernoch 1 ist.


-Staytuned

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Parameter unter Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mo 01.05.2017
Autor: fred97


> Hallo Diophant,
>  
> vielen lieben Dank für die Zeit und deine Mühe die
> Aufgabe so detailliert zu erläutern.
>  Im nachhienein sieht immer alles verständlich aus.
>  
> Eine letzte Frage stellt sich mir jedoch noch.
>  
> Ich habe zum Vergleich die ursprünglichen
> Integrationsgrenzen von [mm]x_{1}=-0,5p[/mm] und [mm]x_{2}=0,5p[/mm]
> eingesetzt und komme zu einem anderen Ergebnis.
>  
>
>
> b) Fläche in Abhängigkeit von p
>  
> A(p) = [mm]\integral_{-0,5p}^{0,5p}{(-4x^{2}+p^{2}) dx}[/mm]
> = [mm][-\bruch{4}{3}x^{3}+p^{2}x][/mm]
>         = [mm]0,3\overlin{3}p^{3}[/mm] + [mm]0,67p^{3}[/mm]
>         = [mm]1p^{3}[/mm]
>  
>
> Ziehe ich die 3. Wurzel aus A(p)=18, so ist mein Ergebnis:
>  
> p=2,62
>  
> Was unterscheidet meinen Weg von deinem?

Du hast Dich verrechnet!





> Es müsste doch
> eigentlich auf das gleiche Ergebnis hinauslaufen, da das
> Intervall immernoch 1 ist.
>  
>
> -Staytuned


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Bezug
Parameter unter Fläche: Beantwortet
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Mo 01.05.2017
Autor: staytuned

Stimmt ich hatte einen Vorzeichenfehler.

Vielen dank an alle, die mir bei der Lösung des Problems geholfen haben.

-Staytuned

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