Parameterabhängige Integrale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | | Sei F eine stetig differenzierbare Funktion auf R. Für y Element aus R definiere die Funktion g(y)=Integral über (x+y)F(x)dx in den Grenzen von 0 bis y für (x,y) Elemente aus [0,1] x [0,1]. Bestimmen Sie die zweite Ableitung g´´(y). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Für die erste Ableitung gibt es eine spezielle Formel aus dem Skript. Soweit ist das kein Problem. Meine Frage bezieht sich auf die Bildung der zweiten Ableitung. Die erste Ableitung lautet gemäß Musterlösung: Integral über F(x)dx in den Grenzen von 0 bis y + 2yF(y). In der Musterlösung ist für g´´(y)= F(y)+2F(y)+2yF´(y) berechnet worden. Ich würde nun gerne wissen, wie ich auf den ersten Summanden der zweiten Ableitung, wie ich auf F(y), komme. Der restliche Teil mit 2F(y)+2yF´(y) ist klar. Dieser Ausdruck müsste im Zuge der Produktregel entstanden sein. Über eine baldige sowie kompetente Antwort würde ich mich sehr freuen.
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Sei F eine stetig differenzierbare Funktion auf R. Für y
> Element aus R definiere die Funktion g(y)=Integral über
> (x+y)F(x)dx in den Grenzen von 0 bis y für (x,y) Elemente
> aus [0,1] x [0,1]. Bestimmen Sie die zweite Ableitung
> g´´(y).
[mm]g\left(y\right)=\integral_{0}^{y}{\left(x+y\right)F(x) \ dx}[/mm]
Definieren wir zunächst [mm]G\left(x,y\right)=\left(x+y\right)F\left(x\right)[/mm]
Nach der Leibnizschen Differentiationsregel gilt:
[mm]\bruch{\partial}{\partial y}g\left(y\right)=\bruch{\partial}{\partial y}\integral_{0}^{y}{G\left(x,y\right)\ dx}[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{y}{\bruch{\partial}{\partial y}G\left(x,y\right) \ dx}+ 1*G\left(y,y\right)-0*G\left(0,y\right)[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{y}{F\left(x\right) \ dx}+2*y*F\left(y\right)[/mm]
Nochmalige Anwendung der Leibnizschen Differentiationsregel liefert:
[mm]\bruch{\partial^{2}}{\partial y^{2}}g\left(y\right)=\bruch{\partial }{\partial y}\integral_{0}^{y}{F\left(x\right) \ dx}+\bruch{\partial}{\partial y}\left(2y*F\left(y\right)\right)[/mm]
[mm]=\bruch{\partial }{\partial y}\integral_{0}^{y}{F\left(x\right) \ dx}+2*F\left(y\right)+2y*F'\left(y\right)[/mm]
[mm]=\integral_{0}^{y}{\bruch{\partial}{\partial y}\left(F\left(x\right) \right)\ dx}+1*F\left(y\right)-0*F\left(0\right)+2*F\left(y\right)+2y*F'\left(y\right)[/mm]
Da F nur von x abhängig ist, gilt: [mm]\bruch{\partial}{\partial y}F\left(x\right)=0[/mm]
Somit gilt:
[mm]\bruch{\partial^{2}}{\partial y^{2}}g\left(y\right)=\integral_{0}^{y}{0\ dx}+1*F\left(y\right)-0*F\left(0\right)+2*F\left(y\right)+2y*F'\left(y\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow g''\left(y\right)=F\left(y\right)+2*F\left(y\right)+2y*F'\left(y\right)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Für die erste Ableitung gibt es
> eine spezielle Formel aus dem Skript. Soweit ist das kein
> Problem. Meine Frage bezieht sich auf die Bildung der
> zweiten Ableitung. Die erste Ableitung lautet gemäß
> Musterlösung: Integral über F(x)dx in den Grenzen von 0 bis
> y + 2yF(y). In der Musterlösung ist für g´´(y)=
> F(y)+2F(y)+2yF´(y) berechnet worden. Ich würde nun gerne
> wissen, wie ich auf den ersten Summanden der zweiten
> Ableitung, wie ich auf F(y), komme. Der restliche Teil mit
> 2F(y)+2yF´(y) ist klar. Dieser Ausdruck müsste im Zuge der
> Produktregel entstanden sein. Über eine baldige sowie
> kompetente Antwort würde ich mich sehr freuen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 So 15.06.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Zunächst einmal vielen Dank für diese schnelle und effektive Lösung, die ich sofort nachvollziehen konnte. Ich hätte da noch eine kleine Rückfrage. In dieser Aufgabe haben wir ja jetzt nicht integriert, da die Funktion nur von x abhängig war, sie aber nach y abgeleitet werden sollte. Somit kann man F(x) als konstant betrachten, so dass sich einfacherweise das Integral über die Nullfunktion herausbildet. Angenommen, man bekäme ein Integral, welches ebenfalls von y abhängig wäre: Könnte man dann das Integral auflösen, also eine Stammfunktion finden, daraufhin die Grenzen einsetzen und schließlich die somit erhaltene Funktion nun ZWEIMAL ableiten, um auf die zuvor gewünschte Ableitung zu kommen? Also zweimal ableiten, weil man ja zunächst die durchgeführte Integration wieder "rückgängig" machen müsste und dann letztlich noch einmal ableiten, um die gewünschte Ableitung zu erhalten. Könnte man so verfahren? Manchmal hat man ja ein Auge für eine trickreiche Auflösung eines scheinbar schwierigen Integrals. Vielen Dank bereits im Voraus.
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Zunächst einmal vielen Dank für diese schnelle und
> effektive Lösung, die ich sofort nachvollziehen konnte. Ich
> hätte da noch eine kleine Rückfrage. In dieser Aufgabe
> haben wir ja jetzt nicht integriert, da die Funktion nur
> von x abhängig war, sie aber nach y abgeleitet werden
> sollte. Somit kann man F(x) als konstant betrachten, so
> dass sich einfacherweise das Integral über die Nullfunktion
> herausbildet. Angenommen, man bekäme ein Integral, welches
> ebenfalls von y abhängig wäre: Könnte man dann das Integral
> auflösen, also eine Stammfunktion finden, daraufhin die
> Grenzen einsetzen und schließlich die somit erhaltene
> Funktion nun ZWEIMAL ableiten, um auf die zuvor gewünschte
> Ableitung zu kommen? Also zweimal ableiten, weil man ja
> zunächst die durchgeführte Integration wieder "rückgängig"
> machen müsste und dann letztlich noch einmal ableiten, um
> die gewünschte Ableitung zu erhalten. Könnte man so
> verfahren? Manchmal hat man ja ein Auge für eine
> trickreiche Auflösung eines scheinbar schwierigen
> Integrals. Vielen Dank bereits im Voraus.
Meinst Du vielleicht sowas:
[mm]g\left(y\right)=\integral_{0}^{y}{\left(x+y\right)*F\left(x,y\right) dx}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 So 15.06.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Angenommen wir hätten folgende Funktion: g(y)=Integral über die Funktion exp(-x²y)dx in den Grenzen von y bis y². Auch hier würde ich gerne die zweite Ableitung bilden. Die erste würde ich wieder mit Hilfe der Leibnizschen Differentationsregel berechnen. Dann bekomme ich folgende Funktion: Integral über die Funktion exp(-x²y)*(-2xy)dx in den Grenzen y bis y² + exp(-y³)*(exp(-y²)*2y-1). Jetzt kommt die entscheidene Frage: Kann ich hier jetzt das Integral lösen mit Hilfe der Substitutionsregel? Denn es gilt ja: Integral über die Funktion f(x) o g(x)*g´(x)dx in den Grenzen von 0 bis x = Integral über die Funktion f(x)dx in den Grenzen von g(0) bis g(x). Wenn ich jetzt dieses Integral löse, komme ich auf die Funktion: exp(-y³)*(exp(-y²)-1). Jetzt würde ich also diese Funktion ZWEIMAL ableiten wollen. Das erste Mal um das Integral wieder "rückgängig" zu machen und das zweite Mal um die entsprechend gesucht Ableitung zu bekommen. Den anderen Summanden, den wir nach der Anwendung der Leibnizschen Differentationsregel bekommen, könnte man, gemäß der Summenregel, für sich ableiten. Schließlich würde ich am Ende beide Ableitungen addieren und ggf. durch Ausklammern vereinfachden. Dürfte man so verfahren? Diese Aufgabe ist Teil einer Hausübung, die durch eine Punktevergabe bewertet wird. Das erwähne ich hier mal vorsichtshalber, da ich so etwas in den Regeln dieses Forums gelesen habe. Ich würde ja auch nur gerne wissen, ob man generell so verfahren dürfte.
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Angenommen wir hätten folgende Funktion: g(y)=Integral über
> die Funktion exp(-x²y)dx in den Grenzen von y bis y². Auch
> hier würde ich gerne die zweite Ableitung bilden. Die erste
> würde ich wieder mit Hilfe der Leibnizschen
> Differentationsregel berechnen. Dann bekomme ich folgende
> Funktion: Integral über die Funktion exp(-x²y)*(-2xy)dx in
Der Integrand [mm]exp\left(-x^{2}y\right)[/mm] muß nach y abgeleitet werden.
[mm]g\left(y\right)=\integral_{y}^{y^{2}}{e^{-x^{2}y} dx}[/mm]
[mm]\bruch{d}{dy}g\left(y\right)=\integral_{y}^{y^{2}}{\bruch{\partial}{\partial y}\left(e^{-x^{2}y}\right) \ dx}+ \dots [/mm]
> den Grenzen y bis y² + exp(-y³)*(exp(-y²)*2y-1). Jetzt
> kommt die entscheidene Frage: Kann ich hier jetzt das
> Integral lösen mit Hilfe der Substitutionsregel? Denn es
> gilt ja: Integral über die Funktion f(x) o g(x)*g´(x)dx in
> den Grenzen von 0 bis x = Integral über die Funktion f(x)dx
> in den Grenzen von g(0) bis g(x). Wenn ich jetzt dieses
> Integral löse, komme ich auf die Funktion:
> exp(-y³)*(exp(-y²)-1). Jetzt würde ich also diese Funktion
> ZWEIMAL ableiten wollen. Das erste Mal um das Integral
> wieder "rückgängig" zu machen und das zweite Mal um die
> entsprechend gesucht Ableitung zu bekommen. Den anderen
> Summanden, den wir nach der Anwendung der Leibnizschen
> Differentationsregel bekommen, könnte man, gemäß der
> Summenregel, für sich ableiten. Schließlich würde ich am
> Ende beide Ableitungen addieren und ggf. durch Ausklammern
> vereinfachden. Dürfte man so verfahren? Diese Aufgabe ist
> Teil einer Hausübung, die durch eine Punktevergabe bewertet
> wird. Das erwähne ich hier mal vorsichtshalber, da ich so
> etwas in den Regeln dieses Forums gelesen habe. Ich würde
> ja auch nur gerne wissen, ob man generell so verfahren
> dürfte.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
