Parameterbest. Ebenenschar < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 So 15.11.2009 | | Autor: | kaiD |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Parameter a der Ebenenschar, für den die Ebene der Schar von M den Abstand 3 hat.
E: [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] ax_{3} [/mm] = 0 ; M (1/-1/-3) |
Hallo,
mein Lösungsansatz wäre, eine Geradengleichung einer Geraden aufzustellen, die durch den Punkt M verläuft und orthogonal zu E ist. Dabei käme ich auf g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -3} [/mm] + [mm] t*\vektor{2 \\ -1 \\ a}
[/mm]
Jetzt setze ich g in E ein, um einen Wert für t in Abhängigkeit von a zu bekommen, um dann wiederum einen Punkt P in Abhängigkeit von a zu bekommen, der in der Ebenenschar liegt und mit dem ich dann den Wert für a über den Betrag des Vektors [mm] \overrightarrow{MP} [/mm] berechnen kann.
Ich hänge nun beim Auflösen der Gleichung, nachdem ich g in E eingesetzt habe.
2*(1+2t)-(-1-t)+a*(-3+ta)=0
3+5t-3a+ta²=0
Kann mir jemand weiterhelfen oder mir überhaupt sagen, ob meine Herangehensweise die Richtige ist?
Vielen Dank im Vorraus
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Hallo!
> Bestimmen sie den Parameter a der Ebenenschar, für den die
> Ebene der Schar von M den Abstand 3 hat.
> E: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]ax_{3}[/mm] = 0 ; M (1/-1/-3)
> Hallo,
> mein Lösungsansatz wäre, eine Geradengleichung einer
> Geraden aufzustellen, die durch den Punkt M verläuft und
> orthogonal zu E ist. Dabei käme ich auf g: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -3}[/mm] + [mm]t*\vektor{2 \\ -1 \\ a}[/mm]
>
> Jetzt setze ich g in E ein, um einen Wert für t in
> Abhängigkeit von a zu bekommen, um dann wiederum einen
> Punkt P in Abhängigkeit von a zu bekommen, der in der
> Ebenenschar liegt und mit dem ich dann den Wert für a
> über den Betrag des Vektors [mm]\overrightarrow{MP}[/mm] berechnen
> kann.
>
> Ich hänge nun beim Auflösen der Gleichung, nachdem ich g
> in E eingesetzt habe.
>
> 2*(1+2t)-(-1-t)+a*(-3+ta)=0
> 3+5t-3a+ta²=0
>
> Kann mir jemand weiterhelfen oder mir überhaupt sagen, ob
> meine Herangehensweise die Richtige ist?
Deine Herangehensweise ist richtig (sehr gut!) und bis jetzt hast du auch alles richtig gerechnet. Der nächste Schritt ist nun, die obige Gleichung nach t umzustellen:
[mm] $3+5t-3a+t*a^{2}=0$
[/mm]
Dazu schiebst du alles auf die andere Seite, was nicht zu t gehört, und klammerst t dann links aus:
[mm] $5t+t*a^{2}=-3+3a$
[/mm]
[mm] $t*(5+a^{2})=-3+3a$
[/mm]
[mm] $t=\frac{-3+3a}{5+a^{2}}$
[/mm]
Nun musst du das t wieder in die Geradengleichung einsetzen, und du erhältst dann den Punkt P in Abhängigkeit von a, der in der Ebenenschar liegt und (wichtig!) gerade das Lot von M auf diese Ebenenschar darstellt, d.h. der Abstand von M zu P ist dann auch wirklich der Abstand von der Ebebenschar zu M.
Also berechne P:
[mm] $\vec{OP} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -3}+\frac{-3+3a}{5+a^{2}}*\vektor{2 \\ -1 \\ a}$,
[/mm]
also
[mm] $\vec{MP} [/mm] = [mm] \frac{-3+3a}{5+a^{2}}*\vektor{2 \\ -1 \\ a}$
[/mm]
und somit
[mm] $|\vec{MP}| [/mm] = [mm] \frac{-3+3a}{5+a^{2}}*\sqrt{5+a^{2}} \overset{!}{=} [/mm] 3$,
womit man $a = -2$ erhält.
Warum habe ich dir das jetzt alles ausgerechnet?
Nun, deine Herangehensweise ist richtig. Und es ist sehr gut so, wie du es gemacht hast, es zeigt, dass du dich mit der Aufgabe auseinandergesetzt hast und weißt, wie man mit Vektoren etc. rechnet.
Aber: Es ist viel zu kompliziert, es dauert zu lange. Im Abitur oder sonstwo interessiert leider niemanden, wie schön du dir die Lösung hergeleitet hast. Im Tafelwerk oder auch im Unterricht habt ihr sicher schon behandelt, dass es eine Formel für den Abstand eines Punktes M zu einer Ebene E mit Ortsvektor [mm] $\vec{OA}$ [/mm] und normiertem Normalenvektor [mm] $\vec{n_{0}}$ [/mm] gibt, die folgendermaßen aussieht:
$d = [mm] \left|(\vec{OM} - \vec{OA})\circ \vec{n_{0}}\right|$.
[/mm]
Da setzt du nun einfach ein:
[mm] $\vec{n_{0}} [/mm] = [mm] \frac{\vec{n}}{||\vec{n}||} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{5+a^{2}}}*\vektor{2\\-1\\a}$
[/mm]
Ein Ortsvektor der Ebene ist zum Beispiel:
[mm] $\vec{OA} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}$ [/mm] (Durch Ausprobieren (d.h. [mm] x_{1},x_{2} [/mm] beliebig wählen und dann passendes [mm] x_{3} [/mm] ausrechnen)).
Und somit hast du sofort die Gleichung:
$d = [mm] \left|(\vec{OM} - \vec{OA})\circ \vec{n_{0}}\right|$
[/mm]
$3 = [mm] \left|\left(\vektor{1 \\ -1 \\ -3} - \vektor{0\\0\\0}\right)\circ \frac{1}{\sqrt{5+a^{2}}}*\vektor{2\\-1\\a}\right|$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 3 = [mm] \frac{1}{\sqrt{5+a^{2}}}*\left|\vektor{1 \\ -1 \\ -3}\circ \vektor{2\\-1\\a}\right|$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 15.11.2009 | | Autor: | kaiD |
Vielen Dank, an die Hesse'sche Normalenform respektive die Formel zur Abstandsberechnung habe ich garnicht mehr gedacht, klingt jedoch deutlich leichter als mein Weg.
Problem ist damit gelöst, danke!
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