Parameterdarstellung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Anna17 |
Hallo, ich habe zwei aufgaben, bei den ich nicht weiß, wie ich vorgehen muss...bitte helft mir!
1.Eine Ebene kann auch vorgegeben werden durch zwei verschiedene zueinander parallele Graden.Gib die Parameterdarstellung der Ebene an, die durch die Geraden g1 und g2 bestimmt ist:
g1 x= [mm] \vektor{5 \\ 0\\2} +\pi [/mm] * [mm] \vektor{3 \\-1\\4}
[/mm]
g2 x [mm] =\vektor{0 \\ -1\\-1} +\mu [/mm] * [mm] \vektor{-3 \\ 1\\-4}
[/mm]
2.Prüfe, ob durch die fogende Angabe eine Ebene festgelegt ist.
Gegeben sind zwei Geraden g1 und g2:
g1 x [mm] =\vektor{2 \\ 1\\4}+ \pi *\vektor{3 \\ 0\\1}
[/mm]
g2 x = [mm] \vektor{1 \\ 2\\3} +\mu *\vektor{-1 \\ 2\\1}
[/mm]
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Hallo Anna!
Für die Parameterform der Ebenengleichung benötigst Du ja einen Stützvektor sowie zwei (linear unabhängige) Richtungsvektoren:
$E \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{p} [/mm] + [mm] \lambda*\vec{r_1} [/mm] + [mm] \kappa*\vec{r_2}$
[/mm]
Einen der beiden Richtungsvektoren hast Du ja bereits gegeben mit dem Richtungsvektor der Geraden.
Den anderen Richtungsvektor kannst Du bilden durch den Verbindungsvektor zwischen den beiden Geraden-Stützpunkten (wobei der Vollständigkeit halber noch zu prüfen wäre, ob dieser auch wirklich linear unabhängig ist von dem anderen Richtungsvektor. Dies sollte für parallele Geraden aber eingehalten sein, da sie ja sonst identisch wären.).
Nun fehlt noch ein Stützvektor. Diesen kannst Du nun auswählen aus einem der beiden Stützvektoren der Geraden.
Wie lautet also Dein Ergebnis?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Anna!
Eine Ebene wird definiert durch a.) zwei parallele Geraden oder b.) zwei sich schneidende Geraden.
Du musst also überprüfen, dass sich diese Geraden schneiden (also nicht windschief sind), da sie augenscheinlich auch nicht parallel sind.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Anna17 |
zu der 1ten Aufgabe: ist die Lösung
x= [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 4} [/mm] + [mm] \mu [/mm] * [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 3} [/mm] richtig???
zu der 2ten:
ich habe jetzt die Lösung [mm] \pi= [/mm] 0 und [mm] \mu [/mm] =-0,5
aber vorher weiß ich jetzt welche Ebene sie bestimmt???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Anna!
> zu der 1ten Aufgabe: ist die Lösung
> x= [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ -1}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 4}[/mm]
> + [mm]\mu[/mm] * [mm]\vektor{5 \\ 1 \\ 3}[/mm] richtig???
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> zu der 2ten:
> ich habe jetzt die Lösung [mm]\pi=[/mm] 0 und [mm]\mu[/mm] =-0,5
> aber vorher weiß ich jetzt welche Ebene sie bestimmt???
Hier hast du dich vertan. Es muss [mm] $\pi=0,5$ [/mm] und [mm] $\mu=1,5$ [/mm] lauten.
Nehme jetzt als Stützvektor der Ebene einen der beiden Stützvektoren der Geraden (oder den Schnittpunkt) und als Richtungsvektoren die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Anna17 |
hallo Stefan!,
danke für die Überprüfung meiner Ergebnisse!
noch eine Frage zu der 2.ten:
nur bekomme ich die Parameterdarstellung:
x= [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 3}+ \pi [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 1 }+\mu [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Ist diese richtig??? Und ist das dann das endgültige Ergebnis oder muss ich noch was machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Sa 27.08.2005 | | Autor: | Anna17 |
Herzlichen Dank für deine Hilfe!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]"){kind=small}
Du solltest ja überprüfen, ob durch die beiden Geradengleichungen eine Ebene eindeutig festgelegt ist. Da sich die beiden Geraden schneiden, ist dies der Fall. Und du hast die Ebene sogar noch angegeben (was, strenggenommen, nicht Teil der Aufgabe war... 
).
