Parameterdarstellung gewinnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:48 Mo 14.11.2005 | | Autor: | etechie |
Hi,
ich würde gerne einen Tipp haben, wie man aus der Form f(x,y)=0 eine möglichst einfache Prameterdarstellung gewinnen kann.
In lezter Zeit muss ich häufiger aus Termen wie z.b. [mm]y^2-x^3-x^2=0[/mm] eine Parameterdarstellung umwandeln, um z.B. mittels eines Wegintegrals die eingeschlossene Fläche zu bestimmen. Die Möglichkeit, die mir bisher dafür in den Sinn gekomen ist, ist die Kurve in Polarkoordinaten umzuwandeln und nach [mm]r cos(t)[/mm] bzw. [mm]r sin(t)[/mm] aufzulösen um eine Parameterdarstellung zu erhalten. Das klappt auch, nur kommen dabei leider Terme heraus, bei denen sich das Wegintegral dann aufgrund der vielen sin und cos nur extrem aufwendig berechnen lässt.
Meine Frage also: Wie komme ich auf eine möglichst kurze Parameterdarstellung, die sich dann auch möglichst einfach integrieren lassen?
(Für [mm]y^2-x^3-x^2=0[/mm] bin ich z.b. bei [mm]x=tan^2(t)-1[/mm] und [mm]y=tan^3(t)-tan(t)[/mm] gelandet, aber [mm]-y \cdot x' + x \cdot y'[/mm] ergibt einen nur schwer integrierbaren Term.)
Vielen Dank für eure Hilfe
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:49 Di 15.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn man nach y auflösen kann wie hier ist es ganz einfach :
x=t y=f(t) wenn man leichter nach x auflösen kann y=t, x=f(t).
Aber so einfach kannst dus wohl nicht meinen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Di 15.11.2005 | | Autor: | etechie |
Vorweg: Sorry für die harsche Bewertung als falsch, ich bin nochnicht so geübt mit den Kategorisierungsmöglichkeiten hier und hatte gedacht man könne mit dieser Option in der Form "ich meinte es aber so: ..." antworten und habe keine Möglichkeit gefunden, es rückgängig zu machen.
Zum Thema:
Nein, so einfach meinte ich er wirklich nicht, denn wie gesagt, geht es ja am Ende darum (unter zuhilfenahme eines Integrals und der Parameterdarstellung) den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche zu bestimmen.
[mm]y^2-x^2-x^3=0[/mm] sieht ja im Bereich von x=-1 bis x=1 etwa so aus, wie eine um 90° nach links gedrehte AIDS-Schleife. [mm]x=t \wedge y=\sqrt{x^3+x^2}[/mm] würde ja nur den Bereich oberhalb der x-Achse ergeben. rechne ich mit +/- der Wurzel bekomme ich beim Integrieren wieder Probleme. (Ich muss eine Fallunterscheidung machen und/oder die Flächen könnten sich zu 0 addieren.)
Noch komplizierter wirds dann bei der vierblättrigen Rose: [mm](x^2+y^2)*/sqrt{x^2+y^2}=6xy[/mm]
Da fällt das Auflösen nach x oder y schwer und selbst wenn man das schafft müsste man - wenn ich das richtig sehe - sehr viele Integrale aneinander stückeln um die richtige Fläche zu berechnen.
Trotzdem Danke erstmal für die Bemühungen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Di 15.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo etechie
> [mm]y^2-x^2-x^3=0[/mm] sieht ja im Bereich von x=-1 bis x=1 etwa so
> aus, wie eine um 90° nach links gedrehte AIDS-Schleife. [mm]x=t \wedge y=\sqrt{x^3+x^2}[/mm]
da [mm] sinh^{2}-cosh{2}=1 [/mm] setz y=r*sinh(t) x=r*cosh(t) und es wird einfach.
> [mm](x^2+y^2)*/sqrt{x^2+y^2}=6xy[/mm]
hier ist doch x=rcost y=rsint einfach, weil links nur r bleibt.
oder hab ich wieder was übersehen?
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 01:08 Mi 16.11.2005 | | Autor: | etechie |
sorry, ich bin grade ein wenig verwirrt.
[mm]y^2-x^2-x^3=0[/mm]
> da [mm]sinh^{2}-cosh^{2}=1[/mm] setz y=r*sinh(t) x=r*cosh(t)
Diese Folgerung verstehe ich nicht so ganz. Mir ist zwar klar, dass [mm]sin^2+cos^2=1[/mm] analog dazu sein wird, aber das ist zum einen + und zum zweiten ist mir nicht klar, wie man daraus auf die Formen von x und y kommt.
setze ich das aber einfach mal so ein erhalte ich:
[mm]\sinh^2(t)-\cosh^2(t)-r \sinh^3(t)=0[/mm]
[mm]r \sinh^3(t)=1[/mm]
[mm]y=r \sinh(t)=\frac{1}{\sinh^2(t)}[/mm] und x wäre dann
[mm]x= r \cosh(t)=\frac{\cosh(t)}{\sinh^3(t)[/mm]?
An der Stelle muss ich feststellen, dass ich noch nie hyperbolische Funktionen differenziert oder integriert habe. Aber so wie das aussieht wird das bei z.b. [mm]\int_{\partial D} -y\frac{dx}{dt} + x \frac{dy}{dt} dt[/mm] nicht unbedingt das einfachste sein, oder?
[mm](x^2+y^2) \sqrt{x^2+y^2}=6xy[/mm]
> hier ist doch x=rcost y=rsint einfach, weil links nur r bleibt
Ja, [mm]r=6 \cos(t) \sin(t)[/mm] aber wie komme ich da jetzt auf eine geeignete Parameterdarstellung?
So? [mm]x=r \cos(t)=6 \cos^2(t) \sin(t) \wedge y=r \sin(t)=6 \cos(t) \sin^2(t)[/mm]
Ein [mm]\int_{\partial D} -y\frac{dx}{dt} + x \frac{dy}{dt} dt[/mm] ließe sich in diesem Fall ja ertragen, dummerweise soll ichs hier mit dem Greenschen Satz berechnen ;/ (Aber das ist ein anderes Thema, hier solls nur mal darum gehen wie mal allgemein auf "schöne" Parameterdarstellungen kommt)
dankend,
der (etwas) verwirrte etechie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:12 So 20.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo etechie!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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