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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin gerade dabei, eine Mathe GFS über die zeichnerische Darstellung von Ebenen zu schreiben und scheitere aber zur Zeit an der Umwandlung einer Ebene in Parameterform in die Koordinatenform (, denn die brauch ich ja, um die Spurpunkte zu berechnen).
Ich habe jetzt als Beispiel die Ebene E: [mm] \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] .
Ich weiß, dass ich als nächstes ein LGS erstellen muss: [mm] \begin{matrix}
x_1 & = & 3-r-2s \\
x_2 & = & -2+r+s \\
x_3 & = & 0-2r+5s
\end{matrix} [/mm], woraus die Matrix [mm] \begin{pmatrix}
3 & -1 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -2 & 5 & 1
\end{pmatrix} [/mm] entsteht.
Wenn ich diese Matrix jetzt in meinen GTR eingebe erhalte ich als Lösungsmatrix: [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \bruch{17}{3} \\
0 & 1 & 0 & \bruch{26}{3} \\
0 & 0 & 1 & \bruch{11}{3}
\end{pmatrix} [/mm].
Meine Frage ist jetzt: Stimmt das bis hierhin überhaupt und wenn ja, sind die drei Brüche, die ich bei dieser Matrix herausbekomme mein [mm] x_1 , x_2 und x_3 [/mm] oder sind das meine a (weil ja Koordinatengleichung: [mm] a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b [/mm] ) ?
Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann! Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 So 15.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Enna-eihpos,
> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich bin gerade dabei, eine Mathe GFS über die
> zeichnerische Darstellung von Ebenen zu schreiben und
> scheitere aber zur Zeit an der Umwandlung einer Ebene in
> Parameterform in die Koordinatenform (, denn die brauch ich
> ja, um die Spurpunkte zu berechnen).
Nicht notwendigerweise.
Du kannst auch für [mm] $\vec [/mm] x = [mm] \vektor{x_1\\0\\0}$ [/mm] einsetzen, aus den unteren beiden Gleichungen r und s ermitteln und damit dann [mm] x_1 [/mm] berechnen.
> Ich habe jetzt als Beispiel die Ebene E: [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
> .
> Ich weiß, dass ich als nächstes ein LGS erstellen muss:
> [mm]\begin{matrix}
x_1 & = & 3-r-2s \\
x_2 & = & -2+r+s \\
x_3 & = & 0-2r+5s
\end{matrix} [/mm],
Soweit so gut. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Mit dem Rest bist Du auf Abwege geraten. :-(
> woraus die Matrix [mm]\begin{pmatrix}
3 & -1 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -2 & 5 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Diese Matrix wäre gleichbedeutend mit folgendem Gleichungssystem (ich benutze bewusst andere Variablenbezeichnungen):
[mm]\begin{matrix}
3a& -b&-2c &=1\\
-2a& +b&+c &=1\\
0& -2b&+5c &=1
\end{matrix} [/mm]
Das passt nun überhaupt nicht zu Deinem obigen Gleichungssystem.
Beachte auch, das [mm] $x_1, x_2, x_3$ [/mm] drei unterschiedliche Variablen sind!
Der GTR dürfte Dir hier kaum weiterhelfen, das musst Du "zu Fuß" machen.
Du musst jetzt in obigem Gleichungssystem r und s eliminieren, indem Du die drei Gleichungen entsprechend addierst / subtrahierst. Damit erhältst Du dann ganz "automatisch" die gesuchte Koordinatenform.
Sehr schön übrigens, dass Du Dir die Mühe gemacht hast, Dich mit der sauberen Formeldarstellungsweise auseinanderzusetzen! 
Schöne Grüße
ardik
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Hallo Ardik!
Danke dass du so schnell geholfen hast. Ich versteh allerdings nicht ganz, was ich jetzt genau machen soll.
Du hast geschrieben :
"Du musst jetzt in obigem Gleichungssystem r und s eliminieren, indem Du die drei Gleichungen entsprechend addierst / subtrahierst."
Wie soll ich diese drei Gleichungen miteinander addieren bzw. subtrahieren? Ich hab ein bisschen rumgerechnet und ausprobiert, aber jedesmal hab ich irgendwann bemerkt, dass es Mist ist, was ich gemacht habe. Ich verstehe nicht, wie ich r und s lösen kann!?
Gruß, Enna-eihpos
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mo 16.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Dein Ziel beim Umformen ist, ein GLS zu bekommen, in dem in einer Zeile kein r und s mehr vorkommt.
Also:
[mm] \vmat{x_{1}=3-r-2s\\x_{2}=-2+r+s\\x_{3}=0-2r+5s}
[/mm]
Wenn du jetzt GL1+GL2 und 2*GL1-GL3 Rechnest, erhältst du:
[mm] \vmat{x_{1}=3-r-2s\\x_{1}+x_{2}=1+0r-s\\2x_{1}-x_{3}=6+0r-7s}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{x_{1}=3-r-2s\\x_{1}+x_{2}=1-s\\2x_{1}-x_{3}=6-7s}
[/mm]
Wenn du jetzt GL2 mit 7 multiplizierst, ergibt sich:
[mm] \gdw \vmat{x_{1}=3-r-2s\\7x_{1}+7x_{2}=7-7s\\2x_{1}-x_{3}=6-7s}
[/mm]
Und jetzt GL2-GL3
[mm] \gdw \vmat{x_{1}=3-r-2s\\7x_{1}+7x_{2}=7-7s\\(7x_{1}+7x_{2})-(2x_{1}-x_{3})=1-0s}
[/mm]
Jetzt nimm mal die letzte Gleichung her:
[mm] (7x_{1}+7x_{2})-(2x_{1}-x_{3})=1
[/mm]
Diese Gleichung enthält kein r und s mehr, wenn du sie jetzt noch ein wenig zusammenfasst und Sortierst, hast du eine Koordinatenform.
Marius
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