Parameterform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Nahcmittag
Geben Sie für die Ebene F: 3x - 7z = 21 eine Parameterdarstellung an.
Ich habe momentan leider keine Ahnung wie ich das machen soll/kann. Wäre sehr dankbar um Hilfestellung.
Danke
Gruss Dinker
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:11 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
| Aufgabe | Die Punkte A, B und C liegen auf der Ebene E. Wie lautet ihre Ebenengleichung?
A = (4/3/-2), B = (-3/1/2), C = (1/0/2) |
Guten Nachmittag
Auch hier wieder das Problem. Stelle ich zuerst die Parameterform dar, oder kann ich direkt die Koordinatenform ausrechnen?
Danke
Gruss Dinker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Fr 04.09.2009 | | Autor: | informix |
Hallo Dinker,
jetzt mach aber mal einen Punkt !!
Ich formuliere gerade meine Antwort zu deiner Frage - und du stellst im selben Thread(!!) gleich eine neue, ohne meine Antwort abzupassen!
Ich betrachte das als äußerst unhöflich und meinen Eifer mißachtend. Wundere dich also nicht, wenn ich dir nicht mehr so gerne antworten werde...
> Die Punkte A, B und C liegen auf der Ebene E. Wie lautet
> ihre Ebenengleichung?
>
> A = (4/3/-2), B = (-3/1/2), C = (1/0/2)
> Guten Nachmittag
>
> Auch hier wieder das Problem. Stelle ich zuerst die
> Parameterform dar, oder kann ich direkt die Koordinatenform
> ausrechnen?
>
> Danke
> Gruss Dinker
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Das wäre doch dann einfach:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ -2} [/mm] + u* [mm] \vektor{-7 \\ -2 \\ 4} [/mm] + [mm] u*\vektor{-3 \\ -3 \\ 4} [/mm] ?
Auch hier könnte ich natürlich auch [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] als Ortsvektor nehmen?
Danke
Gruss Dinker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Sorry
Ich war mit meinen Gedanken woanders... Ich will ja gar nicht die Parametergleichung...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Informix
Entschuldigung für die Unhöflichkeit.
Also ind er Datenbank ist ja eigentlich genau ein passendes Beispiel: https://matheraum.de/wissen/Koordinatenform.
Jedoch kann ich diesem Beispiel nicht wirklich folgen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Dinker!
> Also ind er Datenbank ist ja eigentlich genau ein passendes
> Beispiel: https://matheraum.de/wissen/Koordinatenform.
>
> Jedoch kann ich diesem Beispiel nicht wirklich folgen.
An welcher Stelle kannst du denn nicht folgen? Vielleicht versuchen wir es mit diesem Beispiel, dann kannst du deins danach ganz alleine lösen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Also in der Datenbank ist ja eigentlich genau ein passendes
> Beispiel: https://matheraum.de/wissen/Koordinatenform.
>
> Jedoch kann ich diesem Beispiel nicht wirklich folgen.
Hallo Dinker,
Dort geht es aber ohnehin genau um die umgekehrte
Aufgabe, nämlich von der Parameterform ausgehend eine
Koordinatengleichung aufzustellen.
In deiner vorliegenden Aufgabe (die in der Praxis eher
selten auftritt) sollst du aber zu einer Koordinatenglei-
chung eine Parametergleichung aufstellen, welche
dieselbe Ebene beschreibt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
> offenbar einen Aufhängepunkt, dargestellt durch den Punkt
> A mit dem Ortsvektor [mm]\vec{a}[/mm]
> die Richtungsvektoren [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] bekommst du
> durch zwei weitere Punkte P, Q, die auf der Ebene liegen (=
> die Ebenengleichung erfüllen) durch
> [mm]\vec{u}=\overrightarrow{AP} \text{ und }\vec{v}=\overrightarrow{AQ}[/mm]
Was ich machen müsste ist mir ja schon klar, nur sehe ich nicht, wie ich das realisieren kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Wäre wirklichd ankbar um Vorrechnung. Denn mein Skript gibt darüber überhaupt keine Auskunft
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>
> > offenbar einen Aufhängepunkt, dargestellt durch den Punkt
> > A mit dem Ortsvektor [mm]\vec{a}[/mm]
> > die Richtungsvektoren [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] bekommst du
> > durch zwei weitere Punkte P, Q, die auf der Ebene liegen (=
> > die Ebenengleichung erfüllen) durch
> > [mm]\vec{u}=\overrightarrow{AP} \text{ und }\vec{v}=\overrightarrow{AQ}[/mm]
>
>
> Was ich machen müsste ist mir ja schon klar, nur sehe ich
> nicht, wie ich das realisieren kann.
Hallo,
Na, zum Anfang brauchst du drei Punkte A,P,Q,
deren Koordinatentripel jeweils die Ebenengleichung
erfüllen. Es sollen natürlich drei verschiedene Punkte
sein (und sie sollten nicht auf einer Geraden liegen).
Die Ebenengleichung lautet
3x-7z=21
Jetzt brauchst du für einen ersten Punkt A einfach
einmal drei Zahlen x,y,z, für welche die Gleichung
zutrifft. Dafür gibt es natürlich viele Möglichkeiten,
aber du hast ja die freie Wahl. Dabei kannst du es dir
noch sehr einfach machen, indem du die Gleichung
einfach mal anschaust.
Natürlich passt hier zum Beispiel x=7, y=0, z=0
Damit hast du schon einen ersten Punkt A(7/0/0).
So, und dasselbe jetzt noch zweimal mit anderen
Zahlentripeln für die Punkte P und Q. Da y in der
Ebenengleichung übrigens gar nicht auftritt, kann
man den y-Wert ohnehin absolut frei wählen ...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Also ich habe leider nicht mehr so etwas schön "bruchloses" gefunden.
A (7/0/0)
B [mm] (15/0/\bruch{24}{7}
[/mm]
C [mm] (20/0/\bruch{39}{7}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 0 \\ 0} [/mm] + u* [mm] \vektor{8 \\ 0 \\ \bruch{24}{7}} [/mm] + [mm] k*\vektor{20 \\ 0 \\ \bruch{39}{7}}
[/mm]
jetzt noch etwas schöner (bruchlos..)
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 0 \\ 0} [/mm] + u* [mm] \vektor{56 \\ 0 \\ 24} [/mm] + [mm] k*\vektor{140 \\ 0 \\39}
[/mm]
Ist es so richtig?
Danke
Gruss Dinker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Danke für die Korrektur.
Gruss DInker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Ich wäre sehr dankbar um die Beantwortung dieser Frage, da ich bei der nächsten Aufgabe wieder wegen diesem Problem anstehe.
Ich habe zwei Ebene gegeben
E: -x-2y+z = 2
F: A(3/4/2) B(3/-1/5) C(3/0/-1)
Damit ich losrechnen kann, möchte ich die Koordinatenform der Ebene F mit möglichst geringem Aufwand ausrechnen. Wie gesagt, mir bleibt momentan nichts anderes übrig, als die Ebene F zuerst in Parameterform aufzuschreiben und dann durch Elimination in die Koordinatenform umformen. Aber eben da gibts wohl ein direkterer Weg
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker!
Zunächst: Für deine nächste Aufgabe eröffnest du bitte einen neuen Thread, damit nicht zu viele Aufgaben in einen kommen und alles unübersichtlich wird.
> Ich habe zwei Ebene gegeben
> E: -x-2y+z = 2
>
> F: A(3/4/2) B(3/-1/5) C(3/0/-1)
>
> Damit ich losrechnen kann, möchte ich die Koordinatenform
> der Ebene F mit möglichst geringem Aufwand ausrechnen. Wie
> gesagt, mir bleibt momentan nichts anderes übrig, als die
> Ebene F zuerst in Parameterform aufzuschreiben und dann
> durch Elimination in die Koordinatenform umformen. Aber
> eben da gibts wohl ein direkterer Weg
Es gibt keinen direkteren Weg. Du musst aus den Punkten erstmal zwei Richtungsvektoren bestimmen.
Der "schnelle" Weg ist, jetzt aus diesen beiden Richtungsvektoren "schnell" einen Normalenvektor zu bestimmen, zum Beispiel mit dem Vektorprodukt.
Dann kennst du schon die "linke Seite" der Koordinatenform, die rechte erhältst du durch einsetzen eines der drei ausgangs gegebenen Ortsvektoren der Ebene.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo steppenhahn
> Es gibt keinen direkteren Weg. Du musst aus den Punkten
> erstmal zwei Richtungsvektoren bestimmen.
> Der "schnelle" Weg ist, jetzt aus diesen beiden
> Richtungsvektoren "schnell" einen Normalenvektor zu
> bestimmen, zum Beispiel mit dem Vektorprodukt.
> Dann kennst du schon die "linke Seite" der
> Koordinatenform, die rechte erhältst du durch einsetzen
> eines der drei ausgangs gegebenen Ortsvektoren der Ebene.
Dann mache ich es mal gemäss der Anleitung:
[mm] \vektor{0 \\ -5 \\ 3} [/mm] x [mm] \vektor{0\\ -4 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{27 \\ 0 \\ 0} [/mm] (das sieht ja etwas gar dürftig aus..) Habe ich etwas falsch gemacht?
27x + 0 y + 0 z= d
27 * 3 = d
F: 27x = 81
Sorry, aber was mache ich falsch?
Danke
Gruss DInker
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> Hallo steppenhahn
>
> [mm]\vektor{0 \\ -5 \\ 3}[/mm] x [mm]\vektor{0\\ -4 \\ -3}=\vektor{27 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> (das sieht ja etwas gar dürftig aus..)
> Habe ich etwas falsch gemacht?
>
>
> 27x + 0 y + 0 z= d
> 27 * 3 = d
>
> F: 27x = 81
>
> Sorry, aber was mache ich falsch?
Nichts. Man kann die Gleichung von F noch vereinfachen zu
F: x=3
(siehe auch meine andere Antwort !)
schönen Abend !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Danke
> (siehe auch meine andere Antwort !)
>
> schönen Abend !
Wünsch ich dir auch
Gruss Dinker
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich habe noch eine Zusatzfrage, die mir wohl für die Aufgabe nicht gerade direkt etwas bringt, aber trotzdem probleme bereitet.
Falls ich die Parameterform möchte:
(1) x = 3
(2) y = 4 -5k - 4s
(3) z = 2 + 3k -3s
Nun eliminiere ich den Term s
(1) x = 3
(2-3) -3y + 4z = -4 + 27k
Nun ist mein Problem, dass ich den Term k nicht eliminieren kann, da er in der ersten Gleichung gar nicht vorkommt.
Kann mir da jemand helfen?
Danke
Gruss Dinker
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> Hallo
>
> Ich habe noch eine Zusatzfrage, die mir wohl für die
> Aufgabe nicht gerade direkt etwas bringt, aber trotzdem
> probleme bereitet.
>
> Falls ich die Parameterform möchte:
> (1) x = 3
> (2) y = 4 -5k - 4s
> (3) z = 2 + 3k -3s
>
> Nun eliminiere ich den Term s
>
> (1) x = 3
> (2-3) -3y + 4z = -4 + 27k
>
> Nun ist mein Problem, dass ich den Term k nicht eliminieren
> kann, da er in der ersten Gleichung gar nicht vorkommt.
>
> Kann mir da jemand helfen?
>
> Danke
> Gruss Dinker
Guten Abend,
in diesem Beispiel hast du in der Gleichung (1) x=3
schon die fixfertige Ebenengleichung vor dir. Inner-
halb dieser Ebene können y und z beliebige reelle
Werte annehmen. Deshalb sind für den Parameter k
(der jetzt gar nicht mehr erheblich ist) ebenfalls
beliebige reelle Werte möglich.
Noch zur vorherigen Aufgabe mit der Ebene
E: 3x-7z=21
Es ist viel leichter als du denkst, weitere ganzzahlige
Lösungstripel zu finden, zum Beispiel:
(7,1,0)
(0,0,-3)
(0,1,-3)
(14,0,3)
(14,1,3)
etc. etc.
Mit ganzzahligen Werten erhält man dann auch
"schönere" Vektoren für die weitere Rechnung.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Al-Chwarizmi
Danke für die Erklärungen.
Nun ist ja x = 3. Aber das entspricht doch gar keiner Ebene?
Gruss Dinker
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> Hallo Al-Chwarizmi
>
> Danke für die Erklärungen.
>
> Nun ist ja x = 3. Aber das entspricht doch gar keiner
> Ebene?
Natürlich stellt diese Gleichung, bezogen auf Punkte
im Raum [mm] \IR^3 [/mm] , eine Ebene dar:
$\ E\ =\ [mm] \{P(x/y/z)\ \big{|}\ x=3\, ,\,y\in\IR\, ,\,z\in\IR\,\}$
[/mm]
E ist parallel zur y-z-Koordinatenebene und enthält
eben genau alle diese unendlich [mm] \times [/mm] unendlich vielen
Punkte, deren x-Koordinate den Wert 3 hat.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Bei diesem Beispiel kommt in der Koordinatengleichung der Term y gar nicht vor.
Wenn ich jetzt die Koordinatengleichung: 5x + 3y - 2z = 6 habe, ergibt sich ein neues Problem.
Ich bestimme mal einen Punkt A [mm] (1/\bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] z/ [mm] \bruch{3}{2} [/mm] y - [mm] \bruch{1}{2}). [/mm] Wie ihr sieht, habe ich natürlich zuviele Unbekannte. Muss ich hier anders vorgehen?
Danke
Gruss Dinker
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> Bei diesem Beispiel kommt in der Koordinatengleichung der
> Term y gar nicht vor.
Damit ist bei den Punkten egal, welchen y-Wert Du wählst.
> Wenn ich jetzt die Koordinatengleichung: 5x + 3y - 2z = 6
> habe, ergibt sich ein neues Problem.
>
> Ich bestimme mal einen Punkt A [mm](1/\bruch{1}{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] z/ [mm]\bruch{3}{2}[/mm] y - [mm]\bruch{1}{2}).[/mm] Wie ihr
> sieht, habe ich natürlich zuviele Unbekannte. Muss ich
> hier anders vorgehen?
Willst Du hier einzelne Punkte der Ebene ermitteln? Dann wähle Dir beliebig zwei der drei Werte aus und bestimme damit den dritten Wert.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Loddar
>
> Willst Du hier einzelne Punkte der Ebene ermitteln? Dann
> wähle Dir beliebig zwei der drei Werte aus und bestimme
> damit den dritten Wert.
Ich dachte ich bestimmte drei Punkte, dass ich wie ich in gleicher Weise wie im vorherigen beispiel die Parameterform dieser Ebene angeben kann. Oder wie soll ich vorgehen? Ich knappere da schon eine Ewigkeit rum
Gruss Dinker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> Ich dachte ich bestimmte drei Punkte, dass ich wie ich in
> gleicher Weise wie im vorherigen beispiel die Parameterform
> dieser Ebene angeben kann.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Okay! Dann also weiter wie ich gerade schrieb ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Loddar
A (1/1/1)
B(2/2/5)
C(3/3/9)
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] s*(\vektor{1 \\ 1 \\ 4} [/mm] + [mm] u*\vektor{2 \\ 2 \\ 8}
[/mm]
Ist so in Ordnung?
Danke
gruss Dinker
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Nun wenn ich das in die Koordinatenform umwandeln will....
x-y = 0
z - 4y = -3
x - y - z + 4y = 3
x + 3y - z = 3
Ist das so?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker,
habe bei meiner letzten Antwort nicht ganz aufgepasst:
Du hast unglücklicherweise die Punkte, die du aus der Koordinatenform herausextrahiert hast, so gewählt, dass sie auf einer Geraden liegen. D.h. du musst noch irgendeinen anderen Punkt finden, der nicht auf dieser Geraden liegt (was normalerweise kein Problem ist, wähle einfach mal x und z fest und berechne daraus y oder so.)
Man kann nämlich sehr gut sehen, dass deine Parameterform gar keine Ebene aufspannt (die beiden Richtungsvektoren sind "dieselben", nur Vielfache voneinander), sondern nur eine Gerade.
Wenn du dann die Richtungsvektoren hast, ist es wie gesagt praktischer einen Normalenvektor durch das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren zu bestimmen ( = linke Seite der Koordinatenform bekannt), und dann mit dem Ortsvektor noch die rechte Seite der Koordinatenform herauszubekommen.
Grüße,
Stefan
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> Hallo Loddar
>
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> A (1/1/1)
>
> B(2/2/5)
>
> C(3/3/9)
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+s*\vektor{1 \\ 1 \\ 4}+u*\vektor{2 \\ 2 \\ 8}[/mm]
>
> Ist so in Ordnung?
Leider liegen eben alle 3 Punkte auf einer Geraden,
also stellt die Gleichung gar nicht die Ebene dar.
Aber nochmal zum Bestimmen von ganzzahligen
Punkten in einer Ebene: du solltest in deinem eigenen
Interesse versuchen, Punkte mit (dem Betrag nach)
möglichst kleinen ganzzahligen Koordinaten zu
finden. Und denk dran: die kleinste mögliche Zahl,
mit der zudem äusserst angenehm zu rechnen ist,
ist die Null !
Für die Gleichung 5x+3y-2z=6 passen doch z.B.
auch die Tripel (0/2/0) und (0/0/-3). Mit deinem
obigen Punkt A(1/1/1) erhältst du dann z.B. die
Parametergleichung:
[mm]\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{0 \\2\\ 0}+s*\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+u*\vektor{0 \\ 2 \\ 3}[/mm]
LG
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Parameterform![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Der letzte Richtungsvektor stimmt nicht. Hier muss ganz oben eine $13_$ hin (und nicht die $20_$ ).
