Parameterfreie in Parameterfor < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Di 18.11.2008 | | Autor: | PeterR |
| Aufgabe | Parameterform bilden (in einer Ebene)
[mm] \bruch{1}{2}x+\bruch{1}{3}y+\bruch{1}{4}=1 [/mm] |
Hallo!
Ich hab irgendwie ein Problem damit, eine parameterfreie Form in eine Parameterform umzuwandeln. Andersherum klappt es dafür ganz gut.
Ab einem bestimmten Punkt komme ich nicht weiter. Oben steht mal eine Beispielaufgabe.
Ich muss ja zunächst erstmal nach x, y oder z umstellen und dann für die beiden jeweils anderen beispielsweise s und t einsetzen. Ich komm dann auf folgendes:
[mm] x=-\bruch{2}{3}s-\bruch{1}{2}t+2
[/mm]
So und hier weiß ich jetzt nicht weiter. Wo genau kann ich nun die parameterform ablesen?
Laut Aufzeichnungen muss [mm] x=\vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] (der Rest steht nich drin) sein, aber ich seh nicht, wo ich das aus der aufgestellten Gleichung ablesen kann. Dasselbe gilt für s und t.... wie macht man das?
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Hallo PeterR,
> Parameterform bilden (in einer Ebene)
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> [mm]\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{3}y+\bruch{1}{4}=1[/mm]
> Hallo!
> Ich hab irgendwie ein Problem damit, eine parameterfreie
> Form in eine Parameterform umzuwandeln. Andersherum klappt
> es dafür ganz gut.
>
> Ab einem bestimmten Punkt komme ich nicht weiter. Oben
> steht mal eine Beispielaufgabe.
>
> Ich muss ja zunächst erstmal nach x, y oder z umstellen und
> dann für die beiden jeweils anderen beispielsweise s und t
> einsetzen. Ich komm dann auf folgendes:
>
> [mm]x=-\bruch{2}{3}s-\bruch{1}{2}t+2[/mm]
>
> So und hier weiß ich jetzt nicht weiter. Wo genau kann ich
> nun die parameterform ablesen?
Nun hast Du noch folgende Gleichungen:
[mm]y=s[/mm]
[mm]z=t[/mm]
>
> Laut Aufzeichnungen muss [mm]x=\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm] (der Rest
> steht nich drin) sein, aber ich seh nicht, wo ich das aus
> der aufgestellten Gleichung ablesen kann. Dasselbe gilt für
> s und t.... wie macht man das?
Schreibe jetzt die Parametergleichung so:
[mm]\pmat{x \\ y \\ z}=\pmat{2 \\ 0 \\ 0}+s*\pmat{\dots \\ \dots \\ \dots}+t*\pmat{\dots \\ \dots \\ \dots}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Di 18.11.2008 | | Autor: | PeterR |
Ja, aber ich weiß eben nicht, wie ich die Zahlen da rausbekomm. Ich weiß ja nicht einmal woher das [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0} [/mm] kommt.
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Hallo PeterR,
> Ja, aber ich weiß eben nicht, wie ich die Zahlen da
> rausbekomm. Ich weiß ja nicht einmal woher das [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> kommt.
Wir haben die 3 Gleichungen:
[mm]x=2-\bruch{2}{3}*s-\bruch{1}{2}*t[/mm]
[mm]y=s[/mm]
[mm]z=t[/mm]
Oder anders geschrieben:
[mm]x=2-\bruch{2}{3}s-\bruch{1}{2}t [/mm]
[mm]y=0+1*s+0*t[/mm]
[mm]z=0+0*s+1*t[/mm]
Hieraus ersiehst Du daß es einen parameterfreien Anteil von [mm]\pmat{x \\ y \\ z}[/mm] gibt:
[mm]\pmat{2 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Di 18.11.2008 | | Autor: | reverend |
Gleiche Art Aufgabe, andere Werte. Vielleicht hilft dir diese Vorlage ja trotzdem weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 18.11.2008 | | Autor: | PeterR |
Hm.. ich verstehe. So halb jedenfalls.
[mm]y=0+1*s+0*t[/mm]
[mm]z=0+0*s+1*t[/mm]
Das hier ist eine allgemeine Formel, oder? Wenn sich das jetzt nur auf die Gleichung beziehen würde, würde ich jetzt nicht verstehen, wie ich darauf komm. Denn wenn ich [mm]x=2-\bruch{2}{3}s-\bruch{1}{2}t [/mm] einfach nach s und t (bzw. y und z) umstellen würde, käme ja eigentlich was anderes raus.
Jedenfalls, wenn ich mir das so anschau, müsste ich dann also auf folgende Parameterform kommen:
x=[mm]\pmat{2 \\ 0 \\ 0}[/mm] +s[mm]\pmat{-\bruch{2}{3}\\ 1 \\ 0}[/mm] +t[mm]\pmat{-\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1}[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo PeterR,
> Hm.. ich verstehe. So halb jedenfalls.
>
> [mm]y=0+1*s+0*t[/mm]
> [mm]z=0+0*s+1*t[/mm]
>
> Das hier ist eine allgemeine Formel, oder? Wenn sich das
> jetzt nur auf die Gleichung beziehen würde, würde ich jetzt
> nicht verstehen, wie ich darauf komm. Denn wenn ich
> [mm]x=2-\bruch{2}{3}s-\bruch{1}{2}t[/mm] einfach nach s und t (bzw.
> y und z) umstellen würde, käme ja eigentlich was anderes
> raus.
>
Nach s bzw. t darfst Du hier nicht mehr auflösen.
>
> Jedenfalls, wenn ich mir das so anschau, müsste ich dann
> also auf folgende Parameterform kommen:
>
> x=[mm]\pmat{2 \\ 0 \\ 0}[/mm] +s[mm]\pmat{-\bruch{2}{3}\\ 1 \\ 0}[/mm]
> +t[mm]\pmat{-\bruch{1}{2} \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 18.11.2008 | | Autor: | PeterR |
Ok, danke.
Nun hab ich mir bei reverends Link mal die Aufgaben angeschaut, ist ja im Prinzip dasselbe, nur leider komm ich da auf völlig andere Ergebnisse, obwohl ich genauso vorgegangen bin wie hier.
Die parameterfreien Gleichungen:
1) E: 6x + 3y + z = 3
2) E:2x y = 4
Er kommt da auf:
Zu 1)
(0|0|3) x(-1|0|6) y (0|-1|3)
Zu 2)
(0|0|0) + x (1|0|0) + y(0|1|0) (okay das letzte war wohl eh falsch)
Ich komme allerdings dagegen auf:
Zu 1)
(0,5|0|0) + s(-0,5|0|6) + t (-1/6|0|1)
Zu 2)
(-2|0|0) + s (-0,5|1|0) + t(0|0|1)
Muss ich hier anders vorgehen, oder was hab ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 18.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Ok, danke.
>
> Nun hab ich mir bei reverends Link mal die Aufgaben
> angeschaut, ist ja im Prinzip dasselbe, nur leider komm ich
> da auf völlig andere Ergebnisse, obwohl ich genauso
> vorgegangen bin wie hier.
>
> Die parameterfreien Gleichungen:
>
> 1) E: 6x + 3y + z = 3
>
> 2) E:2x – y = 4
>
> Er kommt da auf:
> Zu 1)
>
> (0|0|3) – x(-1|0|6) – y (0|-1|3)
>
> Zu 2)
>
> (0|0|0) + x (1|0|0) + y(0|1|0) (okay das letzte war wohl
> eh falsch)
>
> Ich komme allerdings dagegen auf:
>
> Zu 1)
>
> (0,5|0|0) + s(-0,5|0|6) + t (-1/6|0|1)
>
> Zu 2)
>
> (-2|0|0) + s (-0,5|1|0) + t(0|0|1)
>
> Muss ich hier anders vorgehen, oder was hab ich falsch
> gemacht?
Wenn dir dieses Vorgehen Schwierigkeiten bereitet, kannst du die auch geschickt umgehen.
Für eine Parameterform benötigst du lediglich drei Punkte der Ebene, nennen wir sie A, B und C.
Die Parametergleichung lautet
[mm] \vec{x}=\overrightarrow{OA}+t*\overrightarrow{AB}+r*\overrightarrow{AC}
[/mm]
Die drei Punkte erhältst du am bequemsten durch die Achsenschnittpunkte der gegebenen Ebene (jeweils 2 der drei Variablen x, y, z Null setzen und die dritte ausrechnen).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 19.11.2008 | | Autor: | PeterR |
Naja, ich bleib lieber bei der anderen Rechnung, da ich das inzwischen eigentlich verstanden hab. Daher wollte ich nochmal nachhaken: Müssten meine Gleichungen nicht auch richtig sein? Ich hab halt im Gegensatz zu dem anderen Kerl am Anfanf nicht nach z sondern nach x umgestellt.
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Nicht ganz. Ich habe den Eindruck, dass Du das Prinzip noch nicht verstanden hast. Hoffentlich irre ich mich.
Ich verlinke mal die bestehenden Beiträge, die Du aber alle schon kennst.
Hier ist nicht nur die rote Null wichtig. Im Grundsatz steht da fast alles, was Du verstanden haben musst. In der gleichen Diskussion folgt ja noch ein anderer Vorschlag, der von MathePower zu Recht bestätigt wird. Es gibt nämlich keine eindeutige Lösung!
Auf eine Deiner Fragen hat niemand reagiert, am Anfang dieses Beitrags. Und nein, die Formeln sind überhaupt nicht allgemein, sondern aus dem speziellen Fall hergeleitet!
Da liegt womöglich das Problem.
Du brauchst einen Aufpunkt, der die jeweils vorliegende Koordinatenform erfüllt. Es ist absolut egal, welcher das ist.
Weiter brauchst Du zwei Richtungsvektoren, die erstens das schon gewonnene richtige Ergebnis (die Erfüllung der Koordinatengleichung) nicht mehr "stören", und die zweitens voneinander linear unabhängig sind. Das ist auch schon alles.
Dennoch gibt es für den Ortsvektor des Aufpunkts und die beiden Richtungsvektoren jeweils unendlich viele Möglichkeiten für die gleiche Ebene!
Deine Gleichungen sind aber für beide Fälle falsch.
Setz doch mal ein beliebiges s und t ein, und schau nach, ob der erhaltene Punkt die vorgegebene Koordinatenbedingung erfüllt.
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